Calcule f ' ' , f ' ' ' e seus respectivos domínios para

f x = x 2 cos ⁡ 1 x x ≠ 0 0 x = 0  

Passo 1

Podemos considerar nossa função como

f x = x 2 cos ⁡ 1 x

Onde

D f = R - 0

Passo 2

Beleza, agora vamos derivar essa função.

Usando a regra do produto, a derivada primeira é

f ' x = 2 x cos ⁡ 1 x - sen ⁡ 1 x ∙ - 1 x 2 x 2

f ' x = 2 x cos ⁡ 1 x + sen ⁡ 1 x

Passo 3

Usando novamente e regra do produto, podemos derivar mais uma vez:

f ' ' x = 2 cos ⁡ 1 x - sen ⁡ 1 x ∙ - 1 x 2 2 x + cos ⁡ 1 x ∙ - 1 x 2

f ' ' x = 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x - 1 x 2 cos ⁡ 1 x

Colocando o cosseno em evidencia,

f ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x

Passo 4

Derivando pela terceira vez:

f ' ' ' x = 2 x 3 cos ⁡ 1 x - 2 - 1 x 2 sen ⁡ 1 x ∙ - 1 x 2 - 2 x 2 sen ⁡ 1 x + 2 x cos ⁡ 1 x ∙ - 1 x 2

f ' ' ' x = 2 x 3 cos ⁡ 1 x - - 2 x 2 + 1 x 4 sen ⁡ 1 x - 2 x 2 sen ⁡ 1 x - 2 x 3 cos ⁡ 1 x

Colocando juntando os termos com seno e cosseno:

f ' ' ' x = - 1 x 4 sen ⁡ 1 x

Passo 5

Beleza, então nossas derivadas foram

f ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x

f ' ' ' x = - 1 x 4 sen ⁡ 1 x

Essas derivadas estão definidas em todo o R , exceto quando x = 0 .

Assim, o domínio tanto da derivada segunda quanto da derivada terceira é

D f ' ' = D f ' ' ' = R - 0

Resposta

D f ' ' = D f ' ' ' = R - 0

Onde:

f ' ' x = 2 - 1 x 2 cos ⁡ 1 x + 2 x sen ⁡ 1 x

f ' ' ' x = - 1 x 4 sen ⁡ 1 x

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