Derive a função:

M ( x ) = x + x + x

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! O problema nos deu uma função

M ( x ) = x + x + x

e pediu sua derivada.

Logo de cara vemos que temos uma raiz com outras raízes por dentro. Quando temos uma função dentro da outra usamos a: REGRA DA CADEIA

A regra da cadeira consiste em: derivar a função mais de fora (no caso a raiz quadrada) e usar como argumento tudo que está dentro dela.

x + x + x . E depois? Depois multiplicar pela derivada dessa coisa!

Só que nesse caso temos outra função aí dentro! Que é aquela outra raiz, que tem uma outra raiz dentro dela! Mas o processo aqui é o mesmo: derivar essa coisa, mantendo o argumento de dentro. Depois multiplicar pela derivada do argumento. Até quando? Até não ter mais nada de função dentro desse argumento!

Lembrando que a derivada de raiz quadrada é:

x ' = 1 2 x

Beleza? E é isso! Vamos resolver essa derivada?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos derivar essa coisa:

M ( x ) = x + x + x

Primeiro vamos derivar a raiz de fora (usando a fórmula que dei no passo anterior) mantendo o argumento x + x + x , e multiplicar pela derivada desse argumento:

M ' x = 1 2 x + x + x .   x + x + x '

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos começar derivando esse argumento!

M ' x = 1 2 x + x + x ⋅   x + x + x ' ⏝

A derivada de x é 1. A derivada da raiz é aquela fórmula que vimos, mas agora o argumento que está dentro dessa raiz é menor: x + x . Então vamos lá:

M ' x = 1 2 x + x + x ⋅ 1 + 1 2 x + x   .   x + x '  

Tudo bem até aqui?

Passo 4

E agora? Agora precisamos derivar aquele último argumento!

M ' x = 1 2 x + x + x ⋅ 1 + 1 2 x + x   .   x + x ' ⏝

Ali dentro temos novamente a derivada de x e a da raiz de x . Mas agora sem nenhuma outra função dentro da raiz (glória a deuxxx)! Significa que derivando aquilo ali terminamos tudo! Vamos lá?

M ' x = 1 2 x + x + x ⋅ 1 + 1 2 x + x   . 1 + 1 2 x  

E é isso gente! Não conseguimos simplificar muito mais! Fica essa coisa gigantesca! Mas é esse o resultado!

Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

M ' x = 1 2 x + x + x ⋅ 1 + 1 2 x + x   . 1 + 1 2 x

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