3b) Considere a função f dada por f x = x 2 + x 3 + 8 ln ⁡ x . Seja a função g tal que seu valor em x = 2 vale 4 e sua derivada nesse mesmo valor vale 3 . Calcule f   ▫ g ' 2

Passo 1

Veja só, f   ▫ g é uma forma bonita de escrever f g x . Então a primeira coisa que a gente tem que fazer é empurrar o g x , mesmo que a gente não saiba quem ele é, pra dentro de f x . Vamos ter então:

f   ▫ g x = f g x = g x 2 + g x 3 + 8 ln ⁡ g x

f   ▫ g x = f g x = g x 2 + g x 3 2 + 8 ln ⁡ g x

Só que a questão quer calcular a derivada disso aí. Então se derivarmos em relação à x , vamos ter que fazer regra da cadeia com cada um dos termos somados em! Vamos ter:

f   ▫ g ' x = 2 g x g ' x + 3 2 g x 1 2 g ' x + 8 g x g ' x

O que é o mesmo que:

f   ▫ g ' x = g ' x 2 g x + 3 2 g x + 8 g x

Falta agora só aplicar o x = 2 . Do enunciado, temos ainda que:

g 2 = 4

g ' 2 = 3

Vamos ficar então com:

f   ▫ g ' 2 = g ' 2 2 g 2 + 3 2 g 2 + 8 g 2

f   ▫ g ' 2 = 3 2 ∙ 4 + 3 2 4 + 8 4

f   ▫ g ' 2 = 3 2 ∙ 4 + 3 2 ∙ 2 + 8 4

Continuando com as contas:

f   ▫ g ' 2 = 3 8 + 3 + 2

f   ▫ g ' 2 = 3 ∙ 13

f   ▫ g ' 2 = 39

Resposta

f   ▫ g ' 2 = 39

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