Calcule a derivada da seguinte função:

f x = e x x sen ⁡ 6 x

Passo 1

Como temos uma fração, podemos derivar usando a regra do quociente:

f ' x = e x ' x sen ⁡ 6 x - e x x sen ⁡ 6 x ' x sen ⁡ 6 x 2

Vamos calcular cada uma das derivadas e então substituir na expressão acima: e x ' = e x

Agora, pela regra do produto:

x sen ⁡ 6 x ' = x ' sen ⁡ 6 x + x sen ⁡ 6 x ' = sen ⁡ 6 x + x sen ⁡ 6 x '

Passo 2

Só que sen ⁡ 6 x ' é uma função composta, então vamos ter que usar a regra da cadeia. Derivamos primeiro o seno e depois o que está dentro dele. Consideramos, para tal, u = 6 x :

sen ⁡ 6 x ' = d sen ⁡ u d u ⋅ d u d x

Sendo:

d sen ⁡ u d u = sen ⁡ u ' = cos ⁡ u

E:

d u d x = 6 x ' = 6

Logo:

sen ⁡ 6 x ' = 6 cos ⁡ u = 6 cos ⁡ 6 x

E, portanto:

x sen ⁡ 6 x ' = sen ⁡ 6 x + 6 x cos ⁡ 6 x

Passo 3

Substituindo tudo, ficamos:

f ' x = e x ' x sen ⁡ 6 x - e x x sen ⁡ 6 x ' x sen ⁡ 6 x 2 =

e x x sen ⁡ 6 x - e x sen ⁡ 6 x + 6 x cos ⁡ 6 x x sen ⁡ 6 x 2

Resposta

f ' x = e x x sen ⁡ 6 x - e x sen ⁡ 6 x + 6 x cos ⁡ 6 x x sen ⁡ 6 x 2

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