1 - Calcule a derivada das seguintes funções

e) x x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos uma função f x = x x e o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função!

Antes de pensar no cálculo dessa derivada, temos que fazer algumas manipulações em f x pois da forma que está, não conseguimos aplicar nenhum método que conhecemos.

Pelas propriedades logarítmicas, temos que a b = e b l n a , se a = b = x , então

f x = x x = e x l n x

Com essa nova função podemos ver alguns métodos que podemos usar para derivá-la? 🤔🤔

Nessa nova configuração, perceba que e x l n x é uma função composta, então certamente temos que aplicar a regra da cadeia para começar.

Essa regra nos diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada da função de dentro multiplicada pela derivada da função de fora, ou seja.

f ' x = d x l n x d x · d e g x d g x

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 2

Agora perceba que na derivada de x l n x temos o produto de duas outras funções, x e ln ⁡ x . Nesse caso, vamos aplicar a regra do produto, que tal?

Esse método consiste em aplicar uma formulinha sendo a derivada da primeira função multiplicada pela segunda função somada a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função. Ou seja

d x l n x d x = d x d x · ln ⁡ x + x · d ln ⁡ x d x

Substituindo em f ' x , temos

f ' x = d x l n x d x · d e g x d g x

f ' x = d x d x · ln ⁡ x + x · d ln ⁡ x d x · d e g x d g x

Substituindo g x por u para simplificar a ideia, vamos obter

f ' x = d x d x · ln ⁡ x + x · d ln ⁡ x d x · d e u d u

A derivada de x é obtida simplesmente pelo método de derivação polinomial

d x d x = x 1 - 1 = 1

Já as derivadas de ln ⁡ x e e u são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo, que usamos em derivadas de funções trigonométricas e logarítmicas.

d ln ⁡ x d x = 1 x

d e u d u = e u

Substituindo esses resultados em f ' x , temos

f ' x = 1 · ln ⁡ x + x · 1 x · e u

f ' x = ln ⁡ x + 1 e u

Por fim, não podemos deixar o resultado em função de u , portanto temos que voltar ele para x l n x .

f ' x = ln ⁡ x + 1 e x l n x

Lembra que x x = e x l n x , logo

f ' x = ln ⁡ x + 1 x x

E essa é a derivada de f x que foi dada no enunciado!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = ln ⁡ x + 1 x x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função.y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))
Encontre a derivada da função.y = ((x^2 + 1)/(x^2 - 1))^3
Encontre a derivada da função.(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x
Encontre a derivada da função.f (x) = (1 + x^4)^((2)/(3))