2a) Calcule a derivada:

f x = ln ⁡ 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x

Passo 1

Pra resolver essa questão, temos que olhar com muito carinho pra função. Ela não é bem uma função logarítima né? Mas sim algo a mais. Veja bem, se chamarmos:

g x = ln ⁡ x

h x = 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x

Podemos entender nossa f x como:

f x = g h x

Opa, e não é exatamente nesse modelo que cabe a regra da cadeia? Então aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = g ' h x ∙ h ' x

Pra achar o termo g ' h x , primeiro vamos derivar g x :

g ' x = ln ⁡ x '

g ' x = 1 x

E agora vamos por, no lugar de x , a função h x toda. Vamos ficar com:

g ' h x = 1 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x

Passo 2

Beleza, faltou só achar h ' x . Como:

h x = 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x

Pra derivar, vamos ter que usar uma regra do produto, beleza? Vamos ter então:

h ' x = 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x '

h ' x = 1 + e 2 x ' sin ⁡ x + 1 + e 2 x sin ⁡ x '

E logo:

h ' x = 2 e 2 x sin ⁡ x + 1 + e 2 x cos ⁡ x

Juntando tudo, fechamos a questão e a derivada de f x vai ser:

f ' x = 2 e 2 x sin ⁡ x + 1 + e 2 x cos ⁡ x 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x

Resposta

f ' x = 2 e 2 x sin ⁡ x + 1 + e 2 x cos ⁡ x 1 + e 2 x ∙ sin ⁡ x

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