Calcule as derivadas das seguintes funções:

  1. f x = cos ⁡ x + 1 x 2 sen ⁡ x - 1
  2. g x = ln ⁡ ln ⁡ x + x 2 + 3
  3. h x = 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2

Passo 1

Fala galera, tranquilin? Olha, vamos lá. Essas funções são feiassas, admito, porém a gente vai tirar de letra se sempre tentar olhar pra cara de quem está mais por fora. Veja a letra a ) por exemplo:

f x = cos ⁡ x + 1 x 2 sen ⁡ x - 1

Aqui, cos ⁡ x + 1 é uma função e x 2 s e n   x - 1 é outra, então quem está mais por fora é uma regra do produto, ok? Fazemos então:

f ' x = cos ⁡ x + 1 ' x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 x 2 sen ⁡ x - 1 '

E calculando essas derivadas, lembrando que derivada de constante é zero, temos:

f ' x = cos ⁡ x ' + 1 ' x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 x 2 sen ⁡ x ' - 1 '

f ' x = - sen ⁡ x x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 x 2 sen ⁡ x '

A derivada que ficou faltando fazer ali vai pedir pra gente de novo a regra do produto. Olhando só pra ela, temos:

x 2 sen ⁡ x ' = x 2 ' sen ⁡ x + x 2 sen ⁡ x '

x 2 sen ⁡ x ' = 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x

Juntando os resultados, temos:

f ' x = - sen ⁡ x x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x

Função feia e enorme, mas é isso ai mesmo hahaha bora pras próximas letras

Passo 2

Letra b)

Pegando a mesma ideia da letra a), vemos que em:

g x = ln ⁡ ln ⁡ x + x 2 + 3

O que temos mais por fora é uma função dentro da outra. Então aqui vamos usar a regra da cadeia primeiro, ok? Vamos ter:

g ' x = ln ⁡ x ' x → ln ⁡ x + x 2 + 3 ∙ ln ⁡ x + x 2 + 3 '

g ' x = 1 x x → ln ⁡ x + x 2 + 3 ∙ ln ⁡ x ' + x 2 ' + 3 '

g ' x = 1 ln ⁡ x + x 2 + 3 ∙ 1 x + 2 x + 0

Nem precisamos derivar mais nada! O resultado final será:

g ' x = 1 x + 2 x ln ⁡ x + x 2 + 3

Passo 3

Letra c)

E pra fechar com chave de ouro, temos em h x , mais externamente, uma razão de funções. Portanto, usaremos primeiro a regra do quociente:

h x = 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2

h ' x = 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x ' tg ⁡ x + x 2 + 2 - 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2 ' tg ⁡ x + x 2 + 2 2

Pela propriedade das derivadas, as que faltaram fazer tem o seguinte resultado:

2 ln ⁡ x + sen ⁡ x ' = 2 ln ⁡ x ' + sen ⁡ x ' = 2 x + cos ⁡ x

tg ⁡ x + x 2 + 2 ' = tg ⁡ x ' + x 2 ' + 2 ' = sen ⁡ x cos ⁡ x ' + 2 x

Resultando em:

h ' x = 2 x + cos ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2 - 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x sen ⁡ x cos ⁡ x ' + 2 x tg ⁡ x + x 2 + 2 2

Mas olha ali, faltou uma derivada! Pra fazer ela, como temos, de novo, uma função sobre a outra, usamos outra regra do quociente:

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = sen ⁡ x ' cos ⁡ x - sen ⁡ x cos ⁡ x ' cos ⁡ x 2

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x - sen ⁡ x cos 2 ⁡ x

sen ⁡ x cos ⁡ x ' = cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x cos 2 ⁡ x = 1 cos 2 ⁡ x = sec ² ⁡ x

Resumindo essa doiderada toda, temos:

h ' x = 2 x + cos ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2 - 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x sec ² ⁡ x + 2 x tg ⁡ x + x 2 + 2 2

Feshow!

Resposta

f ' x = - sen ⁡ x x 2 sen ⁡ x - 1 + cos ⁡ x + 1 2 x sen ⁡ x + x 2 cos ⁡ x

g ' x = 1 x + 2 x ln ⁡ x + x 2 + 3

h ' x = 2 x + cos ⁡ x tg ⁡ x + x 2 + 2 - 2 ln ⁡ x + sen ⁡ x sec ² ⁡ x + 2 x tg ⁡ x + x 2 + 2 2

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