Considere f   uma função diferenciável e g definida por g x = f ² ( c o s x ) .

Sabendo que f 0 = 1   e   f ' 0 = - 1 2 , calcule g ' π 2 .

Passo 1

Vamos calcular g ' x . Aplicando a regra da cadeia:

g ' x = f 2 cos ⁡ x ' cos ⁡ x '

g ' x = 2 f ( cos ⁡ x ) f ' cos ⁡ x ( - sen ⁡ x )

g ' x = - 2 sen ⁡ x f ( cos ⁡ x ) f ' cos ⁡ x

Passo 2

Beleza, agora podemos achar g ' π 2 ! Repare que substituindo x = π 2 , temos cos ⁡ π 2 = 0 .

Então temos

g ' π 2 = - 2 sen ⁡ π 2 f cos ⁡ π 2 f ' cos ⁡ π 2

g ' π 2 = - 2 . 1 f 0 f ' 0

Passo 3

Pelo enunciado, f 0 = 1 . Ele também deu f ' 0 = - 1 2 , ou seja:

g ' π 2 = - 2.1 . 1 . - 1 2  

g ' π 2 = 1  

UHULES!

Resposta

1

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