Encontre uma equação da reta tangente à curva y = s e n ( s e n x ) no ponto ( π ,   0 )

Passo 1

Precisamos de cara lembrar da nossa equação da reta:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

Lembrando que podemos também escrever que f x 0 = y 0 e olha que maravilha, o enunciado já nos deu tanto y 0 quanto x 0 sendo respectivamente 0 e π .

Então o que nos falta encontrar na equação da reta é f ' x 0 e pra isso vamos usar a regra da cadeia!!!

Passo 2

Vamos inicialmente chamar u = s e n ( x )

Logo, temos

y = s e n u

E queremos encontrar d y d x , mas como fazer isso agora que y depende de u?

Vamos usar um artifício matemático:

d y d x = d y d x × d u d u

d y d x = d y d u × d u d x

Note que agora conseguimos encontrar essas duas derivadas, certo?

d y d u = cos ⁡ u

d u d x = cos ⁡ x

Substituindo, vamos ter:

d y d x = cos ⁡ u × cos ⁡ x

Abrindo u = s e n x

d y d x = cos ⁡ s e n x c o s ⁡ ( x )

Passo 3

Beleza, encontramos nossa y ' ou f ' ( x ) ou d y d x , seja lá como chamamos essa derivada, o importante é que a encontramos 😊

E agora, algo importante, precisamos encontrar a reta num dado ponto, onde x = x 0 = π

d y d x = cos ⁡ s e n π cos ⁡ π

cos ⁡ π = - 1

s e n π = 0

Logo,

d y d x = cos ⁡ 0 - 1 = 1 - 1 = - 1

Ou seja, temos f ' x 0 = - 1

Logo, nossa reta tangente será:

y - f x 0 = f ' x 0 x - x 0

y - 0 = - 1 x - π

y = - x + π

Resposta

y = - x + π

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