(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(k) f x = sin ⁡ x + sin ⁡ x ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ x + sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ x + sin ⁡ x , então h x = x + sin ⁡ x e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x + sin ⁡ x d x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x por uma variável qualquer u para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x + sin ⁡ x d x · d sin ⁡ u d u

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

f ' x = d x d x + d sin ⁡ x d x · d sin ⁡ u d u

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 1 + cos ⁡ x · cos ⁡ u

Voltando u para x + sin ⁡ x

f ' x = 1 + cos ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

f ' x = 1 + cos ⁡ x cos ⁡ x + sin ⁡ x

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