(1) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(l) f x = sin ⁡ cos ⁡ sin ⁡ x ;

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema foi dada a função f x = sin ⁡ cos �� sin ⁡ x e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Porém, a função interna cos ⁡ sin ⁡ x também é uma função composta, então na sua derivada temos que aplicar a regra da cadeia novamente.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = sin ⁡ cos ⁡ sin ⁡ x , então h x = cos ⁡ sin ⁡ x e g h x = sin ⁡ h x .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d cos ⁡ sin ⁡ x d x · d sin ⁡ h x d h x

Aplicando a regra da cadeia para a derivada de cos ⁡ sin ⁡ x novamente fazendo p x = sin ⁡ x na derivada de fora

f ' x = d sin ⁡ x d x · d cos ⁡ p x d p x · d sin ⁡ h x d h x

Podemos substituir h x e p x por variáveis quaisquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d sin ⁡ x d x · d cos ⁡ u d u · d sin ⁡ v d v

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = cos ⁡ x · - sin ⁡ u · cos ⁡ v

f ' x = - cos ⁡ x sin ⁡ u cos ⁡ v

Voltando u para sin ⁡ x e v para cos ⁡ sin ⁡ x

f ' x = - cos ⁡ x sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ sin ⁡ x

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

f ' x = - cos ⁡ x sin ⁡ sin ⁡ x cos ⁡ cos ⁡ sin ⁡ x

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