(2) Encontre f ' x para as funções f x abaixo.

(i) f x = x + sin 5 ⁡ x 6

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a função f x = x + sin 5 ⁡ x 6 e nosso objetivo é calcular sua derivada.

Tem alguma ideia de como fazer isso? 🤔

A primeira coisa que temos que fazer é analisar a função f x para saber qual método podemos utilizar...

No caso, f x é uma função composta, portanto para calcular sua derivada temos que usar a regra da cadeia.

A regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pelo produto da derivada da função interna com a derivada da função externa, ou seja.

f x = g h x → f ' x = h ' x · g ' h x

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Se a função é dada por f x = x + sin 5 ⁡ x 6 , então h x = x + sin 5 ⁡ x e g h x = h x 6 .

Pela regra da cadeia, temos

f ' x = d x + sin 5 ⁡ x d x · d h x 6 d h x

f ' x = d x d x + d sin 5 ⁡ x d x · d h x 6 d h x

Aplicando a regra da cadeia novamente para a derivada de sin 5 ⁡ x ...

f ' x = d x d x + d sin ⁡ x d x · d p x 5 d p x · d h x 6 d h x

Podemos substituir h x e p x cada uma por uma variável qualquer para facilitar no entendimento do problema...

f ' x = d x d x + d sin ⁡ x d x · d u 5 d u · d v 6 d v

Pelo método de derivação polinomial e pelo teorema fundamental do cálculo, temos

f ' x = 1 + cos ⁡ x · 5 u 4 · 6 v 5

Voltando u para sin ⁡ x e v para x + sin 5 ⁡ x ...

f ' x = 1 + cos ⁡ x · 5 sin ⁡ x 4 · 6 x + sin 5 ⁡ x 5

f ' x = 6 1 + 5 cos ⁡ x sin 4 ⁡ x x + sin 5 ⁡ x 5

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

f ' x = 6 1 + 5 cos ⁡ x sin 4 ⁡ x x + sin 5 ⁡ x 5

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