Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva C dada por y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2 = 0 :

  1. Determine uma expressão para y ' = d y / d x em termos de x e y .
  2. Encontre a equação da reta tangente à curva C no ponto (1,1).

Passo 1

Vamos começar calculando quem é y ' = d y / d x . Para isto, vamos precisar derivar implicitamente a nossa curva C.

A ideia por trás da derivação implícita é a seguinte: vamos continuando derivando a nossa equação da mesma forma que fazemos as funções. Isto é, vamos aplicar regra do produto, as derivadas de funções polinomiais são as mesmas, e assim por diante.

A única mudança é que, ao derivarmos y n , não vamos colocar apenas n ⋅ y n - 1 . Vamos multiplicar também por y ' . Portanto, seria o seguinte:

y n ' = n ⋅ y n - 1 ⋅ y '

Sendo assim, ao derivarmos a nossa equação C , temos:

y 4 x 3 - y 3 + x 5 - x y 2 ' = 0 '

y 4 x 3 ) ' - ( y 3 ) ' + ( x 5 ) ' - ( x y 2 ' = 0

4 y 3 y ' x 3 + 3 y 4 x 2 - 3 y 2 y ' + 5 x 4 - ( y 2 + 2 x y y ' ) = 0

Colocando em evidência y ' , temos:

y ' ⋅ 4 y 3 x 3 - 3 y 2 - 2 x y = y 2 - 5 x 4 - 3 y 4 x 2

y ' = d y d x = y 2 - 5 x 4 - 3 y 4 x 2 4 y 3 x 3 - 3 y 2 - 2 x y

Passo 2

Agora, precisamos encontrar a equação da reta tangente a curva C no ponto 1,1 . Esta reta possui equação da forma:

y - y 0 = y ' ⋅ x - x 0

Em que o coeficiente y ' é obtido no ponto de coordenadas x 0 , y 0 = ( 1,1 ) . Portanto,

y ' = - 7 - 1 = 7

Logo, a equação da reta tangente é:

y - 1 = 7 x - 7

y = 7 x - 6

E assim finalizamos a letra b).

Resposta

  1. y ' = d y d x = y 2 - 5 x 4 - 3 y 4 x 2 4 y 3 x 3 - 3 y 2 - 2 x y

y = 7 x - 6

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