Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Considere a curva definida pela equação x 4 - y 4 + 12 x y = 7 .

(b) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto ( 2 ,   3 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos pediu pra encontrar a equação da reta tangente à curva x 4 - y 4 + 12 x y = 7 no ponto ( 2 ,   3 ) . Pra isso, precisamos lembrar que a equação da reta tem a forma geral:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

Onde m é o coeficiente angular da reta, que é igual a derivada d y d x no ponto. Além disso, nesse caso vamos ter y 0 = 3 e x 0 = 2 . Então, só nos resta encontrar o coeficiente angular, derivando a função implicitamente a aplicando o ponto ( 2 ,   3 ) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar tomando a derivada dos dois lados da equação:

d d x x 4 - y 4 + 12 x y = d d x ( 7 )

Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:

d d x x 4 - y 4 + 12 x y = 0

A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:

d d x x 4 - d d x y 4 + d d x 12 x y = 0

Como o primeiro termo contém apenas x , nós podemos derivar normalmente, usando a regrinha da potência ( d d x x n = n x n - 1 ):

4 x 3 - d d x y 4 + d d x 12 x y = 0

Nas expressões que dependem também da variável y , nós consideramos ela uma função de x , ou seja, y ( x ) . Assim, nós acabamos usando a regra da cadeia na derivação, derivando a função de fora, que seria o y , e multiplicando pela derivada da função de dentro. Fica assim:

4 x 3 - 4 y 3 y ' + d d x 12 x y = 0

No último termo, como a gente tem um produto de funções, nós aplicamos também a regra do produto:

4 x 3 - 4 y 3 y ' + 12 y + 12 x y ' = 0

Passo 3

Agora vamos arrumar nossa expressão, colocando y ' em evidência:

y ' - 4 y 3 + 12 x = - 4 x 3 - 12 y

y ' = - 4 x 3 - 12 y - 4 y 3 + 12 x

Simplificando e escrevendo y ' = d y / d x :

d y d x = - x 3 + 3 y 3 x - y 3

Beleza, achamos o coeficiente angular m = d y d x da nossa equação da reta.

Passo 4

Agora vamos aplicar o ponto x 0 ,   y 0 = ( 2 ,   3 ) :

d y d x ( 2 ,     3 ) = - 2 3 + 3 3 3 2 - 3 3 = - 8 + 9 6 - 27 = 17 21

E substituir tudo na equação:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - 3 = 17 21 ( x - 2 )

Ou

y = 17 21 x - 2 + 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = 17 21 x - 2 + 3

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