UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 8.42b
Considere a curva definida pela equação .
(b) Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado nos pediu pra encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto . Pra isso, precisamos lembrar que a equação da reta tem a forma geral:
Onde é o coeficiente angular da reta, que é igual a derivada no ponto. Além disso, nesse caso vamos ter e . Então, só nos resta encontrar o coeficiente angular, derivando a função implicitamente a aplicando o ponto .
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar tomando a derivada dos dois lados da equação:
Como a derivada de constante é zero, ficamos com o seguinte:
A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:
Como o primeiro termo contém apenas , nós podemos derivar normalmente, usando a regrinha da potência ():
Nas expressões que dependem também da variável , nós consideramos ela uma função de , ou seja, . Assim, nós acabamos usando a regra da cadeia na derivação, derivando a função de fora, que seria o , e multiplicando pela derivada da função de dentro. Fica assim:
No último termo, como a gente tem um produto de funções, nós aplicamos também a regra do produto:
Passo 3
Agora vamos arrumar nossa expressão, colocando em evidência:
Simplificando e escrevendo :
Beleza, achamos o coeficiente angular da nossa equação da reta.
Passo 4
Agora vamos aplicar o ponto :
E substituir tudo na equação:
Ou
Valeu, galera! Até a próxima! 😉