Regras de Derivação II
Considere a curva definida pela equação . Calcule e encontre a aproximação linear à curva no ponto .
Passo 1
Temos ali uma função implícita. Para fazer a aproximação linear (que é a reta tangente à curva) no ponto precisamos do valor de , para o qual precisamos da fórmula implícita de . Para isso, vamos derivar implicitamente o termo pelas Regras do Produto e da Cadeia:
Eis o nosso em função de e de .
Passo 2
Esse será o coeficiente angular de uma reta modelada por . Vamos calculá-lo em :
Já temos o coeficiente angular. Para determinar o coeficiente linear devemos substituir o ponto na reta modelada:
A aproximação linear será, portanto:
Resposta
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Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. y 2 y 2 - 4 = x 2 ( x 2 - 5 ) , ( 0 , - 2 ) (curva do diabo)
Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + y 2 = 2 x 2 + 2 y 2 - x 2 , 0 , 1 2 (cardioide)
Encontre as equações de ambas as retas tangentes para a elipse x 2 + 4 y 2 = 36 que passem pelo ponto ( 12 ,3 ) .
Duas curvas são ortogonais se suas retas tangentes forem perpendiculares em cada ponto de interseção. Mostre que as famílias dadas de curvas são trajetórias ortogonais uma em relação à outra, ou seja,
28. Use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto dado. x 2 + 2 x y - 4 y ² = 12 ² , ( 2,1 ) (elipse)