Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

Dizemos que duas curvas são tangentes em um determinado ponto quando possuem a mesma reta tangente neste ponto. Mostre que a parábola 2 y - x 2 = 1 é tangente à cúbica y 3 + x y 2 = 2 x ³ no ponto P = ( 1 ,   1 ) .

Passo 1

Vamos ao coeficiente angular da reta tangente a parábola 2 y - x 2 = 1 no ponto P = ( 1 ,   1 ) . Começaremos isolando o y na equação da parábola.

y = x 2 2 + 1 2

Agora precisamos achar y ' ( P ) .

y ' x = 2 x 2 + 0 = x

y ' P = 1

Passo 2

Agora o coeficiente angular da reta tangente à cúbica y 3 + x y 2 = 2 x ³ no ponto P = ( 1 ,   1 ) . A derivada será calculada implicitamente.

3 y 2 . y ' + y 2 + 2 x y . y ' = 6 x 2

y ' ( 3 y 2 + 2 x y ) = 6 x 2 - y ²

y ' = 6 x 2 - y ² 3 y 2 + 2 x y

No ponto P :

y ' P = 6 . 1 2 - 1 2 3 . 1 2 + 2 . 1.1 = 5 5 = 1

Passo 3

Já que a parábola e a cúbica passam pelo ponto P e têm o mesmo valor y ' P = 1 , significa que elas possuem a mesma reta tangente nesse ponto e, portanto, são tangentes entre si no ponto P .

Resposta

D e m o n s t r a d o

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