Exercícios Resolvidos de Reta Tangente – Derivadas Implícitas

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Enunciado

(7) Determine a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 no ponto x 0 , y 0 , y 0 ≠ 0 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema foi dada a equação de uma elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 e um ponto genérico x 0 , y 0 .

Com isso o que temos que fazer é obter a equação da reta tangente à elipse no ponto dado em que y 0 ≠ 0 .

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

A equação da reta tangente é dada por

y = f ' x 0 x - x 0 + y 0

Porém, para encontrar f ' x 0 temos que derivar implicitamente a equação x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 .

Para calcular uma derivada implícita, usamos a fórmula

∂ y ∂ x = - F x F y

Assim assimilamos que ∂ y ∂ x = f ' e depois substituímos na equação da reta tangente.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Começando derivando x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 implicitamente, temos

y ' = - F x F y

Igualando a equação a 0 e fazendo F = 0

x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1 = 0 → F = x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1

Derivando F parcialmente com relação a x , temos

F x = ∂ x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1 ∂ x = 2 x a 2

Fazendo o mesmo para y ...

F y = ∂ x 2 a 2 + y 2 b 2 - 1 ∂ y = 2 y b 2

Substituindo na derivada implícita, temos

y ' = - F x F y = - 2 x a 2 2 y b 2

y ' = - b 2 x a 2 y

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

Fazendo f ' = y ' , substituindo y ' na equação da reta tangente e aplicando o ponto x 0 , y 0

y = f ' x 0 x - x 0 + y 0

y = - b 2 x 0 a 2 y 0 x - x 0 + y 0

y - y 0 = - b 2 x 0 a 2 y 0 x - x 0

Somplificando...

y - y 0 a 2 y 0 = - b 2 x 0 x - x 0

a 2 y 0 y - a 2 y 0 2 = - b 2 x 0 x + b 2 x 0 2

a 2 y 0 y + b 2 x 0 x = a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2

Dividindo tudo por a 2 b 2 ...

a 2 y 0 y + b 2 x 0 x a 2 b 2 = a 2 y 0 2 + b 2 x 0 2 a 2 b 2

y 0 y b 2 + x 0 x a 2 = y 0 2 b 2 + x 0 2 a 2

Do enunciado, vemos que x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 então y 0 2 b 2 + x 0 2 a 2 = 1 também

y 0 y b 2 + x 0 x a 2 = 1

Logo, a reta tangente à elipse é dada pela equação

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1

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