Seja uma constante positiva. Mostre que a soma das coordenas das interseções com o eixo X e Y de qualquer reta tangente a curva:
É constante e igual a .
Passo 1
O enunciado está falando da reta tangente, então precisamos encontrá-la. A equação geral da reta tangente num ponto qualquer é:
Opa! Precisamos achar a derivada no ponto .
Passo 2
Bem, vamos fazer então usando derivação implícita para achar
No ponto :
Show! Agora, substituindo:
Passo 3
Queremos mostrar que a soma das coordenadas das interseções dá . Então, vamos calcular as interseções. A reta corta o eixo quando :
Passo 4
Agora, vamos calcular a interseção com o eixo , que ocorre quando :
Isolando
Passo 5
Agora vamos somar as coordenadas e torcer para dar :
Pela equação fornecida:
Logo, no ponto :
E, portanto:
Como queríamos mostrar!