Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

f x = x 2 - x

Passo 1

Primeiro passo é a gente entender como calculamos uma assíntota vertical e uma horizontal.

De forma bem sucinta e prática:

Assíntota horizontal: Fazemos x → ∞ + e x → ∞ - e se lim x → ∞ ± ⁡ f x = c , onde c é uma constante, temos uma assíntota horizontal. Lembrando que podemos ter valores de constantes dependendo se estamos fazendo x → ∞ + e x → ∞ - , logo teríamos 2 assíntotas horizontais nesses dois valores diferentes de constantes.

Assíntota vertical: Precisamos encontrar um valor de x que faça o denominador tender a zero, se a f x = ± ∞ , temos então uma assíntota vertical no valor que fizemos x tender.

Então, bora pro rolo!

Passo 2

Pra gente encontrar a assíntota horizontal!!

lim x → ∞ + ⁡ x 2 - x = ∞ 2 - ∞ = ∞

lim x → ∞ - ⁡ x 2 - x = ∞ 2 - ∞ = ∞

Note que aqui não temos uma indeterminação, uma vez que ∞ 2 cresce com certeza mais rápido que , logo os valores desses limites necessariamente darão .

Logo, não temos assíntotas horizontais.

Passo 3

Agora verificando a assíntota vertical, a gente vai precisar encontrar quais valores vão fazer nosso problema se aproximar de infinito, e uma das formas é a gente tentar identificar as raízes do polinômio.

x 2 - x = 0

x 1 - x = 0

x 1 = 0

x 2 = 1

Depois que a gente encontrou as raízes, bora tentar ver se algum desses valores fará nossa f ( x ) ter o valor de infinito.

lim x → 0 + ⁡ x 2 - x = 0

lim x → 0 - ⁡ x 2 - x = 0

lim x → 1 + ⁡ x 2 - x = 0

lim x → 1 - ⁡ x 2 - x = 0

Ou seja, não temos assíntotas verticais.

Resposta

Não há assíntotas horizontais ou verticais.

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Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
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Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0