3. Calcule as assíntotas horizontais e verticais das seguintes funções

d. f x = x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para quem não lembra, podemos dizer que uma assíntota horizontal ou vertical nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Para achar a assíntota horizontal, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito.

Já para achar a assíntota vertical, vamos basicamente procurar valores onde pode dar problema no nosso domínio, calcular o limite nesse ponto e ver se ele vai para o infinito.

Agora vamos achar cada assíntota. Começando pela horizontal!

Passo 2

Como comentamos no passo anterior, para achar assíntota horizontal temos que fazer x → ± ∞ . Então primeiro vamos fazer:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3 = ∞ ∞

Dá vontade de dizer que isso vai para 1 , mas temos que lembrar é um número muuuuuuuito grande que não está definido. Então o que temos é uma indeterminação.

Galerinha, sempre que a gente tiver uma divisão de polinômios que vai gerar uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , a dica é: colocar o x n (onde n é o maior grau) em evidência.

Neste caso, o maior grau será x 2 . Fica assim:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 1 + 3 x + 2 x 2 x 2 1 + 2 x - 3 x 2

Simplificando e calculando o limite:

lim x → ± ∞ ⁡ 1 + 3 x + 2 x 2 1 + 2 x - 3 x 2 = 1 + 0 + 0 1 + 0 - 0 = 1

Opaaa, temos então uma assíntota horizontal em y = 1 .

Passo 3

Para achar a assíntota vertical, temos que procurar onde dá problema no domínio. E aqui temos uma função que é uma divisão, e lembra que o denominador não pode zerar?

Então a nossa função não existe quando,

x 2 + 2 x - 3 = 0

Resolvendo,

x = - 2 ± 2 2 - 4 1 - 3 2 = - 2 ± 4 2

Opaaa, então os pontos candidatos são x = - 3 e x = + 1 . Agora vamos para o limite!

Passo 4

Começando por x → - 3

lim x → - 3 ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3 = 2 0 = + ∞

Agora vamos fazer x → + 1

lim x → + 1 ⁡ x 2 + 3 x + 2 x 2 + 2 x - 3 = 6 0 = + ∞

Todos os pontos são assíntotas verticais!

Resposta

Assintota horizontal: y = 1

Assintota vertical: x = - 3 e x = + 1

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0