3. Encontre a(s) assíntota(s) vertica(is) da função

f x = sin ⁡ π x 2 x x - 1

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? O problema pede para acharmos as assíntotas verticais, ou seja, temos que encontrar o ponto no qual ao nos aproximarmos dele a função vai para ± ∞ .

Os pontos candidatos a assíntota são aqueles onde a função não existe. Então vamos olhar para a função dada,

f x = sin ⁡ π x 2 x x - 1

Lembra que não podemos dividir por zero, então o nosso denominador tem que ser diferente de zero para função existir.

Deste modo, os pontos em que a função não vai existir são aqueles em que

x x - 1 = 0

Logo, nossos candidatos a assíntota serão x = 1 e x = 0 .

Agora vamos calcular os limites e verificar se eles vão para ± ∞ .

Passo 2

Começando por x = 0 , teremos

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 x x - 1

Podemos escreve-la assim,

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 x . lim x → 0 ⁡ 1 x - 1

Repara que o segundo limite é igual a 1 , logo teremos só

= lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 x

Podemos resolver esse limite usando o limite fundamental trigonométrico. Para isso precisamos multiplar a função por π 2 . Fica assim

= lim x → 0 ⁡ π 2 sin ⁡ π x 2 π 2 x = π 2 lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 π 2 x

Aplicando o limite fundamental trigonométrico, temos que

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 π 2 x = 1

Ou seja,

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 x x - 1 = π 2 . 1

Como o limite não vai para infinito, este ponto não é uma assíntota vertical!

Bora para o próximo!

Passo 3

Agora vamos para x = 1 ,

lim x → 1 ⁡ sin ⁡ π x 2 x x - 1

Para resolver esse limite, vamos precisar somente de substituir o 1 na função

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ π x 2 x x - 1 = sin ⁡ π 2 1 1 - 1 = 1 0 = ∞

O limite foi para infinito. Então que no ponto x = 1 , temos uma assíntota vertical!

Resposta

x = 1

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