Esboce o gráfico y = x 3 - x 2 1 / 3 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para esboçar o gráfico da seguinte função:

y = x 3 - x 2 1 / 3

Mas como podemos esboçar essa função???

Uma forma seria escolher valores aleatórios de x e analisar os valores de y correspondentes e, por fim, traçarmos um gráfico... mas isso seria muito trabalhoso, né?

Então... outra opção seria a gente selecionar os pontos de interseção com os eixos, identificar as assíntotas verticais e horizontais, e determinar o comportamento da curva em torno desses pontos e assíntotas.

Então bora lá!!

😉

Passo 2

Dessa forma, vamos começar encontrando os pontos de interseção com os eixos x e y :

  • Interseção com o eixo y (fazendo x = 0 ):
  • y = 0 3 - 0 2 1 / 3 ∴

    y = 0

  • Interseção com o eixo x (fazendo y = 0 ):
  • 0 = x 3 - x 2 1 / 3 ∴

    x 3 - x 2 = 0 ∴

    x = 1 e x = 0

    Com isso, já sabemos que o nosso gráfico passará pelos seguintes pontos A e B :

    Agora temos que analisar o comportamento do gráfico nos seguintes intervalos:

  • Para valores < A ;
  • Para valores entre A e B ;
  • Para valores > B .

Passo 3

Mas antes, vamos ver se a função tem assíntotas verticais e horizontais.

Já podemos ver, quando calculamos a interseção no eixo x , que não haverá assíntotas verticais pois y = 0 para x = 0 e x = 1 (pontos em que a função está definida e igual a zero).

Ainda, podemos ver que quando fazemos x → ± ∞ , a função também tenderá a ± ∞ , fazendo com que não temos assíntotas horizontais definidas.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento do gráfico para valores < A (ou seja, para x < 0 ).

Como não há assíntotas verticais e horizontais, vamos estabelecer 3 pontos aleatórios de x :

  • Para x = - 10 :
  • y = - 10 3 - - 10 2 1 / 3 = - 10,3

  • Para x = - 1 0 0 :
  • y = - 1 0 0 3 - - 10 0 2 1 / 3 = - 10 0 , 3

  • Para x = - 10 00 :
  • y = - 10 00 3 - - 1 00 0 2 1 / 3 = - 10 00 , 3

    Analisando esses valores podemos aproximar que a função tem um comportamento linear crescente para valores de x < 0 .

    Passo 5

    Agora, vamos analisar o comportamento do gráfico para valores entre A e B (ou seja, para 0 < x < 1 ).

  • Para x = 0,25 :
  • y = 0,25 3 - 0,25 2 1 / 3 = - 0,36

  • Para x = 0,5 :
  • y = 0,5 3 - 0,5 2 1 / 3 = - 0,5

  • Para x = 0,75 :
  • y = 0,75 3 - 0,75 2 1 / 3 = - 0,52

    Passo 6

    Agora, vamos analisar o comportamento do gráfico para valores > B (ou seja, para x > 1 ).

  • Para x = 10 :
  • y = 10 3 - 10 2 1 / 3 = 9,6 6

  • Para x = 100 :
  • y = 100 3 - 100 2 1 / 3 = 99,66

  • Para x = 1000 :

y = 1000 3 - 1000 2 1 / 3 = 999,66

Analisando esses valores podemos aproximar que a função tem um comportamento linear crescente para valores de x > 0 .

Passo 5

Com base nisso, podemos plotar o gráfico da seguinte forma:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0