Considere a função f x = e x / x 2 , definida para todo x ∈ R com x ≠ 0 .

a . Determine as assíntotas verticais do gráfico de f , se houver tais.

b . Determine as assíntotas horizontais do gráfico de f , de houver tais.

c . Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f . Determine ainda os pontos de máximo e de mínimo de f (se houver); especifique ainda se tais pontos são globais (absolutos) ou locais (relativos).

d . Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo do gráfico de f , assim como seus pontos de inflexão (se houver).

e . Usando as informações obtidas nos itens anteriores, esboce o gráfico de f . Deve incluir as assíntotas (se houver), e deve marcar os pontos notáveis obtidos junto com suas coordenadas.

Passo 1

Fala galerinha, nessa questão, vamos fazer um esboço do gráfico de f x = e x x 2 e para isso vamos seguir o passo a passo das letras do enunciado, começando com a determinação das assíntotas.

a . Determine as assíntotas verticais.

Bom, sabemos que as assíntotas verticais são os pontos pertencentes ao conjuntos do números reais aonde o limite da função f ( x ) dá infinito ou menos infinito, isso é, são os pontos aonde a função vai pro infinito. O que queremos então é:

lim x → a ⁡ f ( x ) = ± ∞

O valor de a do limite acima é a nossa assíntota vertical, desde que a ≠ ± ∞

Uma boa forma de encontrar essa assíntota é olhar para a cara da função e ver se ela possui alguma descontinuidade. No nosso caso temos:

f x = e x x 2

Podemos perceber que há uma descontinuidade em x = 0 , pois teria uma divisão por zero que não é válida, então x = 0 é uma boa alternativa para assíntota vertical.

lim x → 0 ⁡ e x x 2 = 1 0 2 = + ∞

E como vimos, esse limite vai para mais infinito, portanto x = 0 é uma assíntota vertical e a função nesse ponto explode para mais infinitos pelos dois lados.

Passo 2

b . Determine as assíntotas horizontais

Aqui, nesse caso, queremos ver como a função se comporta quando x tende a mais ou menos infinito.

lim x → + ∞ ⁡ e x x 2

lim x → - ∞ ⁡ e x x 2

E caso os valores desses limites seja algum valor real, então, esse valor é uma das assíntotas horizontais da função. Vamos olhar primeiro para x → + ∞

lim x → + ∞ ⁡ e x x 2 = e ∞ ∞ 2 = ∞ ∞

E caímos em uma indeterminação

No entanto, é uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ , então podemos aplicar L’hospital e derivar em cima e em baixo.

lim x → + ∞ ⁡ ( e x ) ' ( x 2 ) ' = l i m x → + ∞ e x 2 x = e ∞ 2 ∞ = ∞ / ∞

E bora de L’hospital de novo!

l i m x → + ∞ ( e x ) ' ( 2 x ) ' = l i m x → + ∞ e x 2 = e ∞ 2 = + ∞

Beleza, então descobrimos que quando x tende a + ∞ , a função também vai para + ∞ , portanto, não há assíntota horizontal para a direita. Vamos ver agora para a esquerda.

lim x → - ∞ ⁡ e x x 2 = e - ∞ - ∞ 2 = 0 ∞ = 0

Portanto, teremos uma assíntota horizontal em y = 0 e quando x tende a - ∞ a função tende a zero.

Passo 3

c . Determine os intervalos de crescimento e decrescimento. Determine os máximos e mínimos e diga se são locais ou globais.

Para avaliar o crescimento e o decrescimento da função, precisamos avaliar a sua primeira derivada, pois sabemos que se a derivada for positiva, a função cresce e se a derivada for negativa, a função decresce.

Como nossa função é f x = e x x 2 , teremos aqui uma regra do quociente.

f ' x = e x ' x 2 - e x x 2 ' x 2 2

f ' x = e x x 2 - e x 2 x x 4

f ' x = e x x 2 - 2 x x 4

Para avaliar o sinal dessa função, podemos reparar que o termo e x / x 4 será sempre positivo, afinal e x é sempre positivo para qualquer x e x 4 também é sempre positivo, pois temos um expoente par.

O que altera o sinal de f ' x portanto é o termo x 2 - 2 x , que pode ser aberto em

x 2 - 2 x = x ( x - 2 )

Percebemos que esse termo zera quando x = 0 e quando x = 2 , mas e o que acontece antes e depois desses pontos? Vamos testar alguns valores. Por exemplo, quando x é menor que 0 , vamos supor x = - 0,1 , teremos:

- 0,1 - 0,1 - 2 = 0,21

Então, vemos que x 2 - 2 x é positiva para valores menores que 0 e portanto f ' ( x ) também é.

E quando x está entre 0 e 2, por exemplo x = 1

1 1 - 2 = - 1

Daí vemos que x 2 - 2 x é negativa quando x está entre 0 e 2, e portanto f ' ( x ) também é.

Por fim, para valores maiores que 2, por exemplo, 2,1.

2,1 2,1 - 2 = 0,21

Daí vemos que x 2 - 2 x é positiva e portanto f ' x é positiva para valores maiores que 2.

Sendo assim, temos o seguinte estudo de sinal da primeira derivada

Da onde podemos reter a informação de que a função é crescente no intervalo - ∞ , 0 ∪ 2 , + ∞ e a função é decrescente no intervalo 0,2

Os pontos x = 0 e x = 2 são pontos críticos e portanto são boas opções para máximos e mínimos.

O ponto x = 0 , é um ponto de assíntota vertical, pois nesse ponto a função explode para + ∞ , portanto, não podemos considera-lo como um ponto de máximo, afinal esse ponto sequer está no domínio da função.

O ponto x = 2 , pode ser analisado como um ponto de mínimo, pois ele passa de uma derivada negativa para uma positiva e não pertence a nenhuma assíntota. Agora para saber se ele é um mínimo local ou global, vamos avaliar o valor da função nesse ponto:

f 2 = e 2 2 2 > 0

Como sabemos que a função tende a zero pela esquerda, pois uma assíntota horizontal é y = 0 quando x → - ∞ , então temos que f 2 = e 2 4 é um ponto de mínimo local, pois a função chega em valores menores que esse.

Passo 4

d . Determine os intervalos de concavidade para cima e para baixo do gráfico de f , assim como seus pontos de inflexão.

Determinar a concavidade tem tudo a ver com a segunda derivada, pois quando a segunda derivada é positiva, temos que a concavidade é para cima e quando a segunda derivada é negativa a concavidade é para baixo. Além disso, quando a segunda derivada é zero, temos ali um ponto de inflexão. Bora lá!

Como já derivamos a função uma vez, só basta derivar a derivada.

Mas antes, pra a gente fazer menos conta, se liga que:

f ' x = x 2 - 2 x e x x 4 = x x - 2 e x x . x 3

f ' x = x - 2 e x x 3

Ou seja, dá pra cortar o x do numerador com o denominador, é só colocar o do numerador em evidência e então cortar.

Agora sim, vamos derivar

f ' x ' = e x x - 2 x 3 '

= e x x - 2 ' x 3 - e x x - 2 x 3 ' x 3 2

= e x x - 2 + e x 1 x 3 - e x x - 2 3 x 2 x 6

Vou colocar o e x em evidência na primeira soma e deixar os x em evidência em todos os termos.

= e x x - 2 + 1 x 3 - e x 3 x - 6 x 2 x 6

Aqui podemos cortar x 2

= e x x - 1 x - e x 3 x - 6 x 4

= e x x 2 - x - e x 3 x - 6 x 4

Agora podemos juntar os termos que estão multiplicando o e x

= e x x 2 - x - 3 x + 6 x 4

= e x x 2 - 4 x + 6 x 4

Pronto, chegamos em uma expressão para a nossa segunda derivada!

Bom, essa função vai zerar quando x tende a menos infinito pois e - ∞ = 0 , no entanto, esse não é um ponto que devemos considerar.

Além disso, essa função também vai zerar quando x 2 - 4 x + 6 for igual a zero, ou seja, temos que encontrar as raízes dessa função quadrática.

Δ = - 4 2 - 4.1 . 6 = 16 - 24 < 0

Ou seja, essa função não possui raízes reais. E como ela é contínua, ela terá sempre o mesmo sinal, vamos colocar um valor qualquer para ver qual sinal é:

x 2 - 4 x + 6 → 0 2 - 4 0 + 6 = + 6

Portanto, essa função quadrática é sempre positiva.

Além disso, e x também é sempre positiva, assim como o termo x 4 , ou seja, a segunda derivada é sempre positiva:

f ' ' x > 0   ,   x ∈ R ,   x ≠ 0

Portanto, a concavidade da função é sempre para cima e não há pontos de inflexão.

Passo 5

e . Usando as informações obtidas, esboce o gráfico de f .

Agora é só juntar tudo e colocar no gráfico.

Podemos ver nesse gráfico a assíntota horizontal em y = 0 e que a função tende a zero quando x → - ∞ . Também podemos ver a assíntota vertical em x = 0 e que a função explode para y → + ∞ pelos dois lados quando x → 0 .

Além disso, podemos ver que não a função vai para + ∞ quando x vai para + ∞ , a concavidade é sempre para cima e a função cresce entre - ∞ , 0 e 2 , + ∞ e decresce entre 0,2 .Por fim, também está apresentado em vermelho o ponto de mínimo em x = 2 que é local, pois a função chega a valores menores que e 2 / 4 .

Não há pontos de inflexão.

Resposta

  1. x = 0
  2. y = 0
  3. Mínimo local em x = 2

  4. Concavidade sempre positiva, não há inflexão.

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0