Questão 1.3 - A função 4 x 2 + 2 x + 1 α x 2 + β x + 3 terá duas assíntotas horizontais distintas se e somente se

(a) α ≠ 0 e β = 0 .

(b) α = 0 e β = 0 .

(c) α = 0 e β ≠ 0 .

(d) α ≠ 0 e β ≠ 0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão temos uma função que vamos chamar de f x dada por

f x = 4 x 2 + 2 x + 1 α x 2 + β x + 3

Essa função deve possuir duas assíntotas horizontais e pra isso, temos que definir possíveis valores para α e β , no denominador da função.

Tem ideia do que fazer? 🤔

Assíntotas horizontais são retas que a função tende quando x tende ao infinito, como por exemplo

A reta verde é a assíntota e a curva azul é uma função qualquer.

Com isso, podemos dizer como obtemos uma assíntota horizontal, veja só!

lim x → ± ∞ ⁡ f x = C

Onde C é uma constante onde a assíntota passa.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Em resumo, temos que calcular o limite de f x e forçar o resultado a ser uma constante. Sacou?

Começando para x tendendo a

lim x → ∞ ⁡ f x

lim x → ∞ ⁡ 4 x 2 + 2 x + 1 α x 2 + β x + 3

Colocando x 2 em evidência no numerador e x em evidência no denominador, temos

lim x → ∞ ⁡ x 2 4 + 2 x + 1 x 2 x α x + β + 3 x

Como a b = a · b , então

lim x → ∞ ⁡ x 2 · 4 + 2 x + 1 x 2 x α x + β + 3 x

Assim, se x 2 = x , vamos obter

*   lim x → ∞ ⁡ x 4 + 2 x + 1 x 2 x α x + β + 3 x

Vamos marcar essa etapa da resolução pois ela é muito importante!

Ta tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

No caso, testamos fazendo x tender ao infinito positivo, portanto x é positivo e x = x

lim x → ∞ ⁡ x 4 + 2 x + 1 x 2 x α x + β + 3 x

Simplificando...

lim x → ∞ ⁡ 4 + 2 x + 1 x 2 α x + β + 3 x

Substituindo x por , exceto em α x , temos

lim x → ∞ ⁡ 4 + 2 ∞ + 1 ∞ 2 α x + β + 3 ∞ = 4 + 0 + 0 α x + β + 0 = 4 α x + β

lim x → ∞ ⁡ 4 + 2 ∞ + 1 ∞ 2 α x + β + 3 ∞ = 2 α x + β

Não ter substituído x em α x vai nos ajudar agora, veja só!

Calculando o limite de f x só que dessa vez para x → - ∞ , partindo da etapa *

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x + 1 x 2 x α x + β + 3 x

Agora x é negativo e - x = x , logo

lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x + 1 x 2 - x α x + β + 3 x = - 4 + 2 x + 1 x 2 α x + β + 3 x

Substituindo x por - ∞ , exceto em α x , vamos obter

lim x → - ∞ ⁡ - 4 + 2 x + 1 x 2 α x + β + 3 x = - 4 + 2 - ∞ + 1 - ∞ 2 α x + β + 3 - ∞ = - 4 + 0 + 0 α x + β + 0

Assim, obtemos que

lim x → - ∞ ⁡ - 4 + 2 x + 1 x 2 α x + β + 3 x = - 4 α x + β = - 2 α x + β

Agora vem o pulo do gato!

Consegue ver? 🤩

Passo 4

Foi dito no enunciado que f x possui duas assíntotas horizontais, portanto l i m x → ∞ f x deve ser diferente do l i m x → - ∞ f x

Se l i m x → ∞ f x = 2 α x + β e l i m x → - ∞ f x = - 2 α x + β , então

2 α x + β ≠ - 2 α x + β

O fato de não termos substituído x em α x é importante, pois aqui vemos que fazendo a substituição, temos

2 α ∞ + β ≠ - 2 α - ∞ + β

2 ∞ ≠ - 2 - ∞

0 ≠ 0

Então vemos que a assíntota é a mesma e não é o que queremos.

O que temos que fazer então é eliminar o mal pela raiz e obrigar α a ser igual a 0 , pois assim lá no início do problema podemos desconsiderar o termo α x 2 .

Já para β , vemos que deve ser diferente de 0 , pois se isso acontecer os limites l i m x → ∞ f x e l i m x → - ∞ f x vão tender ao infinito e não teríamos assíntotas horizontais!

Assim, as assíntotas são

l i m x → ∞ f x = 2 β

l i m x → - ∞ f x = - 2 β

Analisando as alternativas, vemos que a letra c) é justamente o que acabamos de descobrir α = 0 e β ≠ 0 .

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

(c) α = 0 e β ≠ 0 .

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Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0