Para cada uma das funções abaixo, determine as assíntotas horizontais e verticais.

f x = a r c t g ( x )

Passo 1

Primeiro passo é a gente entender como calculamos uma assíntota vertical e uma horizontal.

De forma bem sucinta e prática:

Assíntota horizontal: Fazemos x → ∞ + e x → ∞ - e se lim x → ∞ ± ⁡ f x = c , onde c é uma constante, temos uma assíntota horizontal. Lembrando que podemos ter valores de constantes dependendo se estamos fazendo x → ∞ + e x → ∞ - , logo teríamos 2 assíntotas horizontais nesses dois valores diferentes de constantes.

Assíntota vertical: Precisamos encontrar um valor de x que faça o denominador tender a zero, se a f x = ± ∞ , temos então uma assíntota vertical no valor que fizemos x tender.

Então, bora pro rolo!

Passo 2

Precisamos lembrar de algumas coisinhas importantes aqui das funções trigonométricas. A gente sabe que a função arco tangente é a função inversa da função tangente no intervalo de - π 2 , π 2 . E precisamos lembrar que

t g x = s e n x cos ⁡ x

E olhando pro círculo trigonométrico, temos que as assíntotas verticais de f x = t g ( x ) é onde fazemos x tender a um valor, tal que f x = ∞ . Para isso acontecer, podemos escrever assim então:

t g x = s e n x cos ⁡ x = ∞

Em outras palavras, pra isso acontecer precisamos lembrar quais valores farão c o s ⁡ ( x ) tender a zero para que t g ( x ) tenda a infinito. Esses valores são π 2 e - π 2 .

Passo 3

Analogamente, podemos entender que a r c t g ( x ) sendo a inversa de t g ( x ) teremos uma assíntota horizontal em y = ± π 2 , pois o gráfico de uma função inversa f - 1 é feita quando refletimos esse gráfico em x = y

Ou seja, vamos pegar esse gráfico de t a n ⁡ ( x ) , quando refletirmos no eixo quando x = y , vamos ter o segundo gráfico.

Gráfico t a n ⁡ ( x )

g r á f i c o   a r c t g ( x )

Resposta

Assíntota horizontal: y = ± π 2

Não há assíntota vertical

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