Seja f x = x 5 - 5 x 4 .

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f e os seus pontos de máximo/mínimo locais.
  2. Determine os intervalos onde f é côncava para cima/baixo e os seus pontos de inflexão.
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f .
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens (a), (b) e (c).

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Vamos juntos fazer devagarinho essa questão... começando pela letra (a)!!

Vamos primeiro derivar a função, desse jeitinho aqui:

f ' x = 5 x 4 - 20 x 3 = 5 x 3 ( x - 4 )

Para encontrar os pontos críticos, fazemos f ' x = 0 :

5 x 3 ( x - 4 ) = 0 ∴ x = 0 ou x = 4

Assim, pelo Teste de Crescimento/Decrescimento, podemos concluir que:

E, olhando os pontos críticos percebemos que:

  • f ' muda de positivo para negativo em 0 . Logo, f 0 = 0 é máximo local;
  • f ' muda de negativo para positivo em 4 . Logo, f 4 = - 256 é mínimo local.

Passo 2

Na letra (b) temos primeiro que calcular a derivada segunda, ou seja:

f ' ' x = f ' x ' = 20 x 3 - 60 x 2 ∴

f ' ' x = 20 x 2 ( x - 3 )

Assim, sabemos que f ' ' x = 0 apenas quando x = 0 ou x = 3 .

Além disso, podemos concluir que, quando x 2 ≥ 0 :

  • f ' ' x < 0 em ( - ∞ ,   3 ) sendo côncavo para baixo pelo Teste da Concavidade;
  • f ’ ’ ( x ) > 0 em ( 3 , ∞ ) sendo côncavo para cima pelo Teste da Concavidade.

Para o ponto de inflexão (um ponto sobre uma curva na qual a curvatura muda de sinal), podemos ver que ocorre quando x = 3 ∴ f 3 = - 162 .

Pois logo em seguida você verá que f muda de concavidade!!

Passo 3

Para a letra (c), vemos que f ( x ) não possui assíntota vertical pois a função é contínua em todo o R .

Também, não haverá assíntotas horizontais pois:

lim x → ∓ ∞ ⁡ x 5 - 5 x 4 = ± ∞

Passo 4

Por fim, para a letra (d) podemos plotar o gráfico da função:

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0