Suponha que o coeficiente de atrito estático entre os pneus de um carro de massa m e a estrada onde ele trafega é μ

3) caso a pista seja inclinada na curva (curva compensada) e faça um ângulo θ com a horizontal, qual seria a maior velocidade escalar com que o carro completaria uma curva de raio R (ainda com atrito) sem deslizar?

Passo 1

Oi, tudo bem?

Essa questão parece complicada, mas vou ajudar você aqui! Nessa situação temos um carro que está fazendo uma curva em uma pista que não é horizontal, mas faz um ângulo θ com a horizontal.

Como nessa situação aqui:

Como ele está fazendo uma curva, temos a força centrípeta como resultante das forças na direção horizontal

Já na vertical temos o peso (sempre vertical para baixo) e a normal (perpendicular à pista)

Ainda temos a força de atrito com a pista, que precisa ser adicionada ao desenho!

A ideia aqui é relacionar as forças existentes e identificar em qual situação a velocidade é máxima, como o problema pede! Precisamos lembrar que a força centrípeta está relacionada com a velocidade linear do carro! Então balancear as forças vai nos fornecerá uma equação para velocidade. Beleza? Vamos começar?

Passo 2

No item (1) dessa prova, calculamos a velocidade do carro para que ele não derrape na pista plana:

v = g R μ

E é em relação a essa velocidade que vamos encontrar a velocidade máxima que o carro pode ter nessa pista ser derrapar

N quanto a força de atrito estático F s ficam inclinados em relação à horizontal, e assim surgem componentes x e y para essas duas forças

Outra coisa, a força de atrito pode atuar impedindo que o carro caia para baixo na pista, quanto impedindo que ele vá para fora. Mas qual situação ele terá a maior velocidade?

Vamos pensar o seguinte: aumentando a velocidade linear do carro, o carro tende a sair da pista, então para manter esse carro na pista, a força de atrito deve empurrá-lo para dentro da pista (no mesmo sentido que a força resultante)

O resultado disso é esse diagrama de forças:

Beleza até aqui?

Com base nesse diagrama, podemos ver que tanto a força normal N → quanto a força de atrito F s → podem ser decompostas, se assumirmos que ao longo da direção do peso passe um eixo vertical e ao longo da força resultante passe um eixo horizontal:

Nossa missão agora é equacionar as forças nas direções x e y ! Bora lá?

Na vertical a resultante é zero, já que o carro não ‘sai voando’ kkk

N y - m g - F s y = 0

Como podemos ver ali em cima no diagrama N y = N c o s θ e F s y = N μ s e n θ , aí a equação para direção vertical fica assim:

N c o s θ - m g - N μ s e n θ = 0

Podemos isolar o módulo da força normal N :

N c o s θ - μ s e n θ = m g

N = m g c o s θ - μ s e n θ   ( 1 )

Tranquilo?

Na horizontal temos que as componentes x do atrito e da normal estão no mesmo sentido, e a soma delas é a resultante!

F r e s = F s x + N x

E pelo diagrama N x = N s e n θ e F s x = N μ c o s θ , então a equação para a força resultante (que é a nossa força centrípeta) fica assim

m v 2 R = N μ c o s θ + N s e n θ

E daqui podemos isolar a velocidade:

v 2 = R m N μ c o s θ + s e n θ   ( 2 )

Beleza?

Passo 3

Mas e agora? Bom, temos duas equações e duas incógnitas: N e v

O problema nos pede o valor da velocidade, então vamos substituir a equação ( 1 ) na equação ( 2 ) , belezinha?

A equação (1) é:

N = m g c o s θ - μ s e n θ

Substituindo em (2):

v 2 = R m N μ c o s θ + s e n θ = R m m g c o s θ - μ s e n θ . μ c o s θ + s e n θ

Podemos cortar as massas em cima e embaixo:

v 2 = g R μ c o s θ + s e n θ c o s θ - μ s e n θ

E por fim, tirar a raiz quadrada dos dois lados:

v = g R μ c o s θ + s e n θ c o s θ - μ s e n θ  

E está aí! Essa é a velocidade máxima que o carro pode ter sem deslizar! A expressão da velocidade é dada em termos das quantidades conhecidas μ , R , g e θ .

E é isso!

Espero ter ajudado!

Resposta

v = g R μ c o s θ + s e n θ c o s θ - μ s e n θ

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