Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Assinale abaixo a área do paralelogramo definido pelos vetores u → e v → em R n :

( a ) u → v → u → v → - u → v → 2

( b ) u → v → u → v →

( c ) u → v → u → v → + u → v → 2

( d ) u → 2 v → 2 - u → v → 2

Passo 1

Essa é complicada. Se liga, se a gente tem um paralelogramo qualquer:

Deixando ele retinho pra facilitar as contas ficamos com:

E sua área é dada pela base vezes a altura, ou seja:

A = b h = u → v → s i n ⁡ θ

Vamos fazer aparecer uma raiz nesse negócio já que nas opções só tem raiz:

A = u → 2 v → 2 sin 2 ⁡ θ

Agora a gente vai reescrever o seno como 1 - c o s θ 2 :

A = u → 2 v → 2 ( 1 - cos 2 ⁡ θ )

A = u → 2 v → 2 - u → 2 v → 2 cos 2 ⁡ θ )

A = u → 2 v → 2 - u → v → cos ⁡ θ 2

Agora a gente substitui uma das definições de produto interno, que é:

u → v → = u → v → cos ⁡ θ

A = u → 2 v → 2 - u → v → 2

E chegamos na nossa resposta, letra d ! Como eles esperavam que alguém fosse pensar nisso na prova eu realmente não sei, mas né . . .

Resposta

Letra ( d )

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