UFRJ, P3-2019.1
Assinale o vetor que faz o menor ângulo como o vetor
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Passo 1
Belezoca meus amores, queremos descobrir qual dos vetores do enunciado, fazem o menor ângulo como o vetor .
Mas calma lá, porque a equação que relaciona o ângulo entre dois vetores e é dada por:
Ou seja, nós não conseguimos descobrir o ângulo em si, mas conseguimos descobrir o cosseno dele. E pra gente isso já basta, porque saca só, a função cosseno no intervalo entre e , quanto maior o ângulo, menor o valor do cosseno. Por exemplo, se o ângulo for :
E se ângulo for ou :
Logo, quanto menor o ângulo, MAIOR o COSSENO.
Então se querems encontrar o menor ângulo, devemos na verdade encontrar qual dos vetores possui o MAIOR cosseno. Bora lá testar para cada um deles!!
Passo 2
Para o primeiro vetor, temos . Dessa forma a equação fica:
Primeiro calculando o módulo, temos que:
E calculando o produto interno agora, obtemos:
Juntando todas informações, descobrimos que:
Passo 3
Xuxu beleza então, agora que a gente já pegou o jeito de como faz pra descobrir o ângulo entre dois vetores, podemos fazer com o resto deles pra depois a gente poder comparar. Na letra (b), temos o vetor , logo:
Os módulos são:
E calculando o produto interno agora, obtemos:
E juntando tudo, chegamos em:
Ou melhor:
Passo 4
Irados, agora na letra (c) temos o vetor :
Os módulos vão ser:
E calculando o produto interno:
Juntando tudo que encontramos:
E nesse aqui não tem muito o que mexer mesmo rsrs
Passo 5
E por fim, testando o vetor da letra (d), temos que:
Os módulos são:
E calculando o produto interno:
Juntando tudo que encontramos:
Passo 6
Irados, então agora a gente tem os valores de todos os cossenos entre os vetores, então o cosseno que for MAIOR, vai nos retornar os vetores que formam o menor ângulo. Colocando em ordem crescente de valores, temos:
Logo, o vetor respectivo ao é o da letra (d), .
Resposta
Letra (d).