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Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

A3 T4

Considere no espaço vetorial P 2 (isto é, os polinômios de grau ≤ 2 ) o produto interno dado por p → ∙ q → = p → 0 q → 0 + p → 1 q → 1 + p → 2 q → ( 2 ) .

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

( a ) p → x = x 2 - x e q → x = x 2 - 2 x são ortogonais

( b ) p → x = x 2 e q → x = x são ortogonais

( c ) p → x = x 2 - x e q → x = x 2 + x são ortogonais

( d ) p → x = x 2 e q → x = 2 x - 1 são ortogonais

Passo 1

Para que dois vetores sejam ortogonais, o produto interno deve ser zero.

Vamos analisar a letra ( a ) .

Veja que:

p 0 = 0 2 - 0 = 0 ; q 0 = 0 2 - 2 × 0 = 0

p 1 = 1 2 - 1 = 0 ; q 1 = 1 2 - 2 × 1 = - 1

p 2 = 2 2 - 2 = 2 ; q 2 = 2 2 - 2 × 2 = 0

Assim:

p → ∙ q → = 0 × 0 + 0 × - 1 + 2 × 0 = 0

Como o produto interno é zero, os vetores são ortogonais,e portanto a afirmativa é verdadeira.

Passo 2

Vamos analisar a letra ( b ) .

Veja que:

p 0 = 0 2 = 0 ; q 0 = 0

p 1 = 1 2 = 1 ; q 1 = 1

p 2 = 2 2 = 4 ; q 2 = 2

Assim:

p → ∙ q → = 0 × 0 + 1 × 1 + 4 × 2 = 9

Como o produto interno é diferente de zero, os vetores não são ortogonais,e portanto a afirmativa é falsa.

Passo 3

Vamos analisar a letra ( c ) .

Veja que:

p 0 = 0 2 - 0 = 0 ; q 0 = 0 2 + 0 = 0

p 1 = 1 2 - 1 = 0 ; q 1 = 1 2 + 1 = 2

p 2 = 2 2 - 2 = 2 ; q 2 = 2 2 + 2 = 6

Assim:

p → ∙ q → = 0 × 0 + 0 × 2 + 2 × 6 = 12

Como o produto interno é diferente de zero, os vetores não são ortogonais,e portanto a afirmativa é falsa.

Passo 4

Vamos analisar a letra ( d ) .

Veja que:

p 0 = 0 2 = 0 ; q 0 = 2 × 0 - 1 = - 1

p 1 = 1 2 = 1 ; q 1 = 2 × 1 - 1 = 1

p 2 = 2 2 = 4 ; q 2 = 2 × 2 - 1 = 3

Assim:

p → ∙ q → = 0 × ( - 1 ) + 1 × 1 + 4 × 3 = 13

Como o produto interno é diferente de zero, os vetores não são ortogonais,e portanto a afirmativa é falsa.

Resposta

Letra ( a )

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