Sejam vetores tais que . Considere as afirmativas:
- e são ortogonais.
- É possível que
I e II são verdadeiras.
I é verdadeira e II é falsa
I é falsa e II é verdadeira
I e II são falsas.
Passo 1
Afirmativa I:
Para ver se os vetores são ortogonais, basta fazer o produto interno entre eles:
Usando as propriedades do produto interno:
Como sabemos que o produto interno de um vetor com ele mesmo é o módulo dele ao quadrado e que o produto interno é comutativo:
E assim vemos que eles são de fato ortogonais e, portanto, a afirmativa é verdadeira.
Passo 2
Afirmativa II:
Se , então:
Agora vamos desenvolver primeiro .
Passo 3
Vamos desenvolver agora :
Logo vimos que para temos uma condição e para temos uma outra condição! Assim, se quiséssemos que ambos os vetores e tenham módulos igual a ,não necessariamente ao mesmo tempo, seria verdade.
Mas o que o exercício nos pede é que o módulo dos dois seja igual a ao mesmo tempo . Isso seria impossível, pois para cada um deles serem iguais a precisamos satisfazer duas condições diferentes e, portanto, teria que assumir dois valores ao mesmo tempo, logo é um absurdo.
Resposta
Letra