Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

Ver Teoria

Enunciado

Sejam u → e v → vetores do R 4 tal que u → - v → = a , b , c , d e u → + v → = d , c , b , a . Pode-se afirmar que, necessariamente,

  1. u → e v → são ortogonais
  2. u → = v →

( a ) I é verdadeira e I I é falsa

( b ) Ambas são verdadeiras

( c ) Ambas são falsas

( d ) I é falsa e I I é verdadeira

Passo 1

Nós temos as seguintes informações:

u → + v → = d , c , b , a u → - v → = a , b , c , d

Somando as equações nós temos:

2 u → = a + d , b + c , b + c , a + d

Já se subtrairmos as equações ficamos com:

2 v → = d - a , c - b , b - c , a - d

Vamos trabalhar com 2 u → e 2 v → , já que se u → e v → são ortogonais e se u → = v → então 2 u → e 2 v → também são ortogonais e 2 u → = 2 v →

Passo 2

Afirmativa I :

Se u → e v → são ortogonais então:

a + d , b + c , b + c , a + d ∙ d - a , c - b , b - c , a - d = 0

d 2 - a 2 + c 2 - b 2 + b 2 - c 2 + a 2 - d 2 = 0

0 = 0

Opa, essa é verdadeira!

Passo 3

Afirmativa I I :

Se u → = v → , então:

a + d 2 + b + c 2 + b + c 2 + a + d 2 = d - a 2 + c - b 2 + b - c 2 + a - d 2

2 a + d 2 + 2 b + c 2 = 2 a - d 2 + 2 b - c 2

2 a + d 2 + 2 b + c 2 = 2 a - d 2 + 2 b - c 2

2 a 2 + 2 a d + d 2 + 2 b 2 + 2 b c + c 2 = 2 a 2 - 2 a d + d 2 + 2 b 2 - 2 b c + c 2

4 a d + 4 b c = 0

Opa, chegamos em um resultado que não será verdadeiro para qualquer valor de a , b , c e d ! Logo, essa afirmativa não é necessariamente verdadeira.

Resposta

Letra ( a )

Exercícios de Livros Relacionados

Considere R 2 ,R 3 e R 4 com o produto interno euclidiano. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre u e v . u = 1 , - 3 , v = 2,4 u = - 1,0 , v = 3,8 u = - 1,5 , 2 , v = 2,4 , - 9 u = 4,1 , 8
13. Quais as condições devem satisfazer a e b para que a matriz a + b b - a a - b b + a seja ortogonal?
Dizemos que um operador matricial R 2 é rígido se mantiver o comprimento dos vetores, e preserva ângulo se não mudar o ângulo entre vetores não nulos.(a) Dê o nome de dois tipos distindos de operadore
O resultado do Exercício 15 tem um análogo para matrizes ortogonais 3 × 3 , como segue. Pode ser provado que a multiplicação ortogonal A de tamanho 3 × 3 é uma rotação em torno de algum eixo se d e t
7. Repita o Exercício 6 com theta = (pi)/(3) .