Exercícios Resolvidos de Ângulo Entre Dois Vetores

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Enunciado

Considere o produto interno usual do R n e seja S um conjuto de vetores não nulos.

Assinale a alternativa VERDADEIRA:

a   Se não existirem dois vetores de S ortogonais entre si então S é linearmente dependente

b   Se S é linearmente independente então pelo menos dois vetores de S são ortogonais entre si

c   Se S é linearmente independente então os vetores de S são todos ortogonais entre si

d   Se S é linearmente dependente então os vetores de S não podem ser todos ortogonais entre si

Passo 1

Podemos facilmente escolher um conjunto S no qual não existem vetores ortogonais mas que seja L I . Veja o conjunto:

{ 1,1 ,   1,0 }

Eles não são múltiplos, logo são L I . Mas:

1 ,   1 ∙ 1 ,   0 = 1 × 1 + 1 × 0 = 1

Logo não são ortogonais.

Vemos então que pode existir um conjunto não-ortogonal que seja L I .

Com esse exemplo descartamos as letras ( a ) e ( c ) .

Descartamos também a letra ( b ) , pois S é L I e não existem nem dois vetores ortogonais.

Passo 2

Só nos resta a ( d ) !

Se S é L D , então obrigatoriamente um vetor do conjunto é combinação linear de outros dois.

Isso significa que esse vetor pertence ao plano que define os outros dois, e mesmo que ele seja ortogonal a um dos vetores, não será ao outro.

Então é verdade: um conjunto L D não pode ser um conjunto ortogonal.

Resposta

Letra ( d )

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