Em um sistema de coordenadas ortogonal são dados os pontos , e .
a) Determine as coordenadas do ponto pertencente ao segmento tal que
b) Mostre que o ângulo formado por e é igual ao ângulo formado por e .
Passo 1
a) Primeiro vamos montar todas as informações que temos:
Como e são paralelos, podemos escrever:
(com )
Passo 2
Beleza! Vamos chamar o ponto de um genérico . Então
Então podemos escrever a igualdade
Nesse caso, .
Já temos , e . Agora só falta :)
Passo 3
Se temos
Então
Calculando o módulo de , temos que .
Ebaa, agora é só aplicarmos tudo naquela igualdade do enunciado :D
Passo 4
Temos que
Substituindo as expressões encontradas:
Como tem módulo, temos duas respostas:
e
Como especificamos que , vamos usar apenas :
Substituindo no ponto , temos:
Passo 5
b) Temos que
Se estamos falando de ângulo entre vetores, vamos usar o produto escalar hehe
Seja o ângulo entre e e o ângulo entre e . Temos
Logo, e consequentemente, .
Resposta
a)
b) Demonstração.