Considere a função

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

d) Determine, caso existam, as assíntotas horizontais de f .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Seguinte... a questão nos pede para determinarmos, caso existam, as assíntotas horizontais da seguinte função:

f x = x + x 3 sin ⁡ 1 x ,     x ≠ 0 0 ,     x = 0

Mas o que são essas assíntotas?

Bom... a assíntota horizontal é um limite superior, que você pode imaginar como uma linha horizontal que define um limite para o comportamento do gráfico de uma determinada função.

Nesse sentido, para determinar as assíntotas horizontais da função f ( x ) , devemos verificar o comportamento da função à medida que x se aproxima do infinito positivo ou negativo.

E aí, bora lá?

😉

Passo 2

Vamos analisar primeiramente o que acontece quando a função tende para o infinito positivo + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x ∴

lim x → + ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x = lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x 3 sin ⁡ 1 x

Aplicando o limite, vemos que:

lim x → + ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x = + ∞ + ∞ ∴

lim x → + ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x = + ∞

Isso significa que a função f ( x ) não tem uma assíntota horizontal no infinito negativo, pois a função decresce indefinidamente com x .

Passo 3

Agora, vamos calcular para quando a função tende para o infinito negativo - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x ∴

lim x → - ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x = lim x → - ∞ ⁡ x + lim x → - ∞ ⁡ x 3 sin ⁡ 1 x

Aplicando o limite, vemos que:

lim x - + ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x = - ∞ - ∞ ∴

lim x → - ∞ ⁡ x + x 3 sin ⁡ 1 x = - ∞

Isso significa que a função f ( x ) não tem uma assíntota horizontal no infinito negativo, pois a função decresce indefinidamente com x .

A função f ( x ) não possui assíntotas horizontais, pois ela não se aproxima de nenhum valor constante quando x tende ao infinito positivo ou negativo.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A função f ( x ) não possui assíntotas horizontais, pois ela não se aproxima de nenhum valor constante quando x tende ao infinito positivo ou negativo.

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0