1. Defina:
  1. Assíntotas horizontais.

Passo 1

Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora desenvolver essa questão comigo?!

Bom, vamos primeiro entender o que o enunciado que da gente. Ele está querendo que a gente defina o que são assíntotas horizontais. Então vamos precisar ir lá no fundo do nosso baú cerebral e buscar as informações dessa definição aí. Para isso, nada melhor que entendermos direitinho o que elas são. Correto?

Passo 2

Vamos dar uma olhada no gráfico da função y = e - x aqui:

O que será que acontece se a gente colocar um valor de x muuuuito grande? Pelo gráfico parece que a nossa função vai praticamente pra zero, né?

Na realidade, o que acontece é que a nossa função fica muito perto de zero, mas nunca chega a encostar no eixo x , nesse caso dizemos que o eixo x é uma assíntota de y = e - x , porque a função chega pertinho do desse eixo, mas nunca encosta nele.

Ou seja, podemos dizer que uma assíntota horizontal nada mais é do que uma reta imaginária que delimita a aproximação de uma função no gráfico à medida que ela cresce ou decresce.

Beleza, mas como a gente resolve se não tivermos o gráfico da função???

Repare que para achar nossa assíntota a gente pensou em pegar um x   muuuuito grande. Então, o que a gente fez foi basicamente achar o limite da função quando x vai pra infinito, olha só:

lim x  → + ∞    ⁡ e - x = lim ⁡   x → + ∞ ⁡ 1 e x = 1 ∞ = 0

Maneiro! Chegamos que o nosso limite é igual a zero e o eixo x é justamente a reta y = 0 .

E é assim que a gente consegue achar a assíntota horizontal de qualquer função. Nesse caso aí de cima a gente só jogou x pra um valor infinito positivo, só que quando a gente não tem o gráfico o que a gente vai fazer é pegar um x muuuuito grande nas duas direções, ou seja, positivo e negativo.

Então, quer dizer que para acharmos uma assíntota horizontal basta a gente resolver dois limites, quando x → + ∞ :

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R .

E quando x → - ∞ :

lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

Onde b ∈ R .

Se um ou os dois limites resultarem em um valor finito, ou seja, não explodirem pra mais ou menos infinito, quer dizer que encontramos uma assíntota horizontal.

Só fica atento que não é necessário que os dois limites sejam iguais a uma constante para ser uma assíntota, mas apenas um deles. Caso os dois limites resultem em constantes diferentes, teremos duas assíntotas, uma em cada constante.

Passo 3

Agora vamos para a definição formal. Que é o que o problema pediu, né? Rsrs

Definição: Uma reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função y = f ( x ) se

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = b ou lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = b

E isso é tudo pessoal. Bora pra próxima.

Resposta

No desenvolvimento.

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0