Determine as assíntotas verticais e horizontais da função

g x =   x 2 + 2 x - 4

Passo 1

Vamos começar calculando as assíntotas verticais. Só há um ponto em que a função apresenta um problema, que é o ponto x = 4 , pois ele torna o denominador igual a zero. Vamos ver se esse candidato é assíntota vertical fazendo os limites laterais. Começando com x → 4 + , temos:

lim x → 4 + ⁡ x 2 + 2 x - 4 = lim x → 4 + ⁡ 4 2 + 2 0 + = +   ∞

Agora para x → 4 - , ficamos com:

lim x → 4 - ⁡ x 2 + 2 x - 4 = lim x → 4 + ⁡ 4 2 + 2 0 - = -   ∞

Oba! x = 4 é assíntota vertical.

Passo 2

Agora vamos às assíntotas horizontais. Primeiro, vamos reescrever o limite. Saca só:

lim x  →   ± ∞ ⁡ x 2 + 2 x - 4 = lim x  →   ± ∞ ⁡ x 2 1 + 2 x 2 x 1 - 4 x = lim x  →   ± ∞ ⁡ x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x

Se x > 0 , então x = x , e temos:

lim x  →   + ∞ ⁡ x 2 + 2 x - 4 =   lim x  →   + ∞ ⁡ x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x = 1 1 + 0 1 + 0 = 1  

E se x < 0 , então x = - x , e temos:

lim x  →   - ∞ ⁡ x 2 + 2 x - 4 =   lim x  →   - ∞ ⁡ - x x 1 + 2 x 2 1 - 4 x = - 1 1 + 0 1 + 0   =   - 1

Portanto, temos duas assíntotas horizontais: y = 1 e y = - 1

Resposta

Assíntotas verticais: x = 4

Assíntotas horizontais: y = 1 e y = - 1

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0