Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gráfico.

a )   f x = x 4 + 2 x 3 + 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = x 4 + 2 x 3 + 1

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: - 3 2 , + ∞
  • Decrescente: - ∞ , - 3 2
  • Côncava para cima: - ∞ , - 1   e   ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: ( - 1,0 )
  • Mínimo local: x = - 3 2 ,   inflexão: x = 0
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = x 4 + 2 x 3 + 1

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ x 4 + 2 x 3 + 1 = + ∞

    E para x → - ∞

    lim x → - ∞ ⁡ x 4 + 2 x 3 + 1 = + ∞

    Ou seja, não temos assíntotas horizontais!

    Beleza?

    Outra coisa: o ponto de mínimo que achamos é também mínimo global, pois para os dois extremos de x nossa função vai à infinito! Ah, e também não temos máximo nessa função!

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = x 4 + 2 x 3 + 1

    Como temos um polinômio, nossa função é contínua em todos os reais, sendo assim, não temos assíntotas verticais!

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = x 4 + 2 x 3 + 1

    Ela tem de características:

  • Crescente: - 3 2 , + ∞
  • Decrescente: - ∞ , - 3 2
  • Côncava para cima: - ∞ , - 1   e   ( 0 , + ∞ )
  • Côncava para baixo: ( - 1,0 )
  • Mínimo local: x = - 3 2 ,   inflexão: x = 0
  • Não possui assíntotas
  • f 0 = 1

E é isso! Até mais!

Resposta

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