Esboce o gráfico das funções abaixo e dê as equações das assíntotas, quando existirem

Parte 1: determine os pontos de máximos, mínimos, inflexão, bem como os intervalos das concavidades

Parte 2: determine as assíntotas (quando existirem) e o esboço do gr��fico.

c )   f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Essa questão nos dá essa função aqui

f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

Agora nessa parte dois vamos determinar as assíntotas!

  • Assíntotas horizontais são quando fazemos o limite da função para ± ∞ e achamos um valor finito a . A equação vai ser do tipo y = a
  • Assíntotas verticais são quando calculamos o limite da função para um ponto de indeterminação b e temos como resultado o infinito. A equação será do tipo x = b

E juntando isso com todos os itens encontrados na parte 1, vamos poder esboçar o gráfico bem bonitinho!

Recordando o que achamos na parte 1:

  • Crescente: - ∞ , - 2 )   e   ( - 2 , + ∞
  • Côncava para cima: - 2 , + ∞
  • Côncava para baixo: ( - ∞ , - 2 )
  • Beleza?

    Bora lá!

    Passo 2

    Nossa função é

    f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

    Calculando o limite quando x → + ∞

    lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

    No infinito prevalecem os termos de maior expoente tanto em cima quanto embaixo aí ficamos com

    lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x = + ∞

    E para x → - ∞

    lim x - ∞ ⁡ 2 x 2 x = lim x → - ∞ ⁡ 2 x = - ∞

    Ou seja, não temos assíntotas horizontais!

    Beleza?

    Passo 3

    Agora vamos analisar os possíveis pontos de descontinuidade da função

    f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

    Temos uma descontinuidade em x = - 2 , então para verificar assíntotas verticais vamos verificar os limites bilaterais

    lim x → - 2 - ⁡ 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2 = - 6 0 + = - ∞

    E agora pela direita

    lim x → - 2 + ⁡ 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2 = - 6 0 - = + ∞

    Vemos, portanto, que x = - 2 é assíntota vertical por ambos os lados!

    Passo 4

    Bora construir o gráfico?

    f x = 2 x 2 + 3 x - 8 x + 2

    Ela tem de características:

  • Crescente: - ∞ , - 2 )   e   ( - 2 , + ∞
  • Côncava para cima: - 2 , + ∞
  • Côncava para baixo: ( - ∞ , - 2 )
  • Não possui assíntotas horizontais
  • Assíntota vertical: x = - 2
  • f 0 = - 4

E é isso! Até mais!

Resposta

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