A função g ( x ) = x 2 - 1 - x possui assíntotas?

Passo 1

Eaew, beleza?

Temos a seguinte função

g ( x ) = x 2 - 1 - x

temos que verificar a existência de assíntotas! Existem três tipos de assíntotas que podem existir! Assíntotas verticais, que são caracterizadas pelo limite

l i m x → a g ( x ) = ± ∞

no entanto, o ponto x = a , está relacionado a valores específicos em que a nossa função não é bem definida, em nosso caso, isso não existe (vou falar mais sobre isso depois). Temos também as assíntotas horizontais, caracterizadas por

l i m x → ± ∞ g ( x ) = L

e, as assíntotas oblíquas definidas por uma equação de reta da forma y = m x + n , em que temos

m = l i m x → ± ∞ g ( x ) x e n = l i m x → ± ∞ g ( x ) - m x

Vamos verificar todos os casos! E veremos se temos alguma assíntota! Saca só!

Passo 2

Note que não existe um valor específico x = a , no qual a função não é bem definida, portanto, não teremos uma assíntota vertical. Aqui temos apenas o intervalo no qual | x | < 1 causando problemas, mas isso não gera uma assíntota! Tendo isso em vista, vamos verificar as assíntotas oblíquas, já que assíntota horizontal é um caso particular! Vamos fazer primeiro os cálculos para x → - ∞ , temos que

m 1 = l i m x → - ∞ g ( x ) x = l i m x → - ∞ x 2 - 1 - x x

podemos separar esse limite em dois da seguinte maneira

l i m x → - ∞ x 2 - 1 - x x = l i m x → - ∞ x 2 - 1 x - l i m x → - ∞ 1 = l i m x → - ∞ x 2 - 1 x - 1

já que a constante 1 continua sendo 1 no limite do infinito! Agora, para resolver o outro limite! Vamos reescrever um pouco a nossa função, podemos retirar o x 2 de nossa raiz como um | x | , note que

l i m x → - ∞ x 2 - 1 x = l i m x → - ∞ 1 x x 2 ( 1 - 1 / x 2 ) = l i m x → - ∞ | x | x 1 - 1 x 2

mas como estamos fazendo o limite para x → - ∞ , temos que a definição de módulo nos indica que | x | = - x já que x < 0 , obtemos então que

l i m x → - ∞ | x | x 1 - 1 x 2 = l i m x → - ∞ - x x 1 - 1 ( - x ) 2 = l i m x → - ∞ - 1 - 1 x 2

Avaliando o limite, temos que

l i m x → - ∞ - 1 - 1 x 2 = - 1 - 1 ∞ = - 1

Ou seja, temos que

m 1 = - 1 - 1 = - 2

O coeficiente angular de nossa assíntota oblíqua é m 1 = - 2 , vamos calcular agora o coeficiente independente!

Passo 3

O coeficiente independente é obtido fazendo

n 1 = l i m x → - ∞ x 2 - 1 - x - m 1 x = l i m x → - ∞ x 2 - 1 +   x

em que usei m 1 = - 2 . Quando temos um limite de uma função que tem uma soma envolvendo raízes, é sempre conveniente multiplicar por um conjugado, neste caso, vamos multiplicar e dividir por x - x 2 - 1 , temos que

l i m x → - ∞ x 2 - 1 +   x = l i m x → - ∞ x 2 - 1 +   x x - x 2 - 1 x   -   x 2 - 1 = l i m x → - ∞ x 2 - ( x 2 - 1 ) x   -   x 2 - 1

simplificando, temos que

l i m x → - ∞ x 2 - ( x 2 - 1 ) x   -   x 2 - 1 = l i m x → - ∞ 1 x   -   x 2 - 1

vamos novamente tirar o x 2 de dentro da raiz, e usar que | x | = - x para x < 0 , obtendo

l i m x → - ∞ 1 x   -   x 2 - 1 = l i m x → - ∞ 1 x   + x   1 - 1 / x 2

evidenciando x no denominador, podemos escrever o nosso limite como

l i m x → - ∞ 1 / x 2   +   1 - 1 / x 2 = 0 2 + 1 - 0 = 0

ou seja, temos que o coeficiente independente é

n 1 = 0

Maravilha! A nossa primeira assíntota é oblíqua da forma y = - 2   x . Vamos verificar se temos uma assíntota oblíqua em x → + ∞ !

Passo 4

O cálculo é bem parecido com o que fizemos no passo anterior, mas agora, temos que | x | = x , como x > 0 , sendo assim, a diferença aparecerá quando fizermos

l i m x → - ∞ | x | x 1 - 1 x 2 = l i m x → - ∞ x x 1 - 1 ( - x ) 2 = l i m x → - ∞ 1 - 1 x 2

e como esse limite agora se torna

l i m x → - ∞ 1 - 1 x 2 = 1

temos que m 2 será dado por

m 2 = 1 - 1 = 0

Isso não é problema, apenas indica que nossa assíntota será horizontal! Vamos ver qual é o coeficiente independente! Da mesma forma que anteriormente, temos que

n 2 = l i m x → - ∞ x 2 - 1 - x - m 2 x = l i m x → - ∞ x 2 - 1 -   x

já que m 2 = 0 , multiplicando o numerador e denominador por - x - x 2 - 1 , temos que

l i m x → - ∞ x 2 - 1 -   x = l i m x → - ∞ x 2 - 1 -   x - x - x 2 - 1 - x - x 2 - 1 = l i m x → - ∞ x 2 - ( x 2 - 1 ) - x - x 2 - 1

simplificando, nós podemos escrever

l i m x → - ∞ x 2 - ( x 2 - 1 ) - x - x 2 - 1 = l i m x → - ∞ 1 - x - x 2 - 1

e, da mesma forma que fizemos anteriormente, tirando o x 2 dara raiz, temos que

l i m x → - ∞ 1 - x - x 2 - 1 = l i m x → - ∞ - 1 / x 1 + 1 - 1 / x 2 = 0

Ou seja, temos uma assíntota horizontal em y = 0 . E, essas são as duas assíntotas presentes nesta função! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

As assíntotas são y = 0 e y = - 2 x

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