Observe a figura abaixo, a região hachurada é limitada pelas curvas y = ( x + 1 ) ² e x = y - y 3 .

Escreva às integrais duplas necessárias para encontrar a área da região hachurada. Detalhe os pedaços de regiões utilizadas na sua decomposição.

Não é necessário calcular as integrais.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Para resolvermos o nosso exercício, vamos ter que dividir a nossa região em 2 partes:

Para começar, vamos esboçar as integrais da primeira parte (I). Se a gente analisar, vamos ter:

0 ≤ y ≤ 1

Show, agora vamos analisar a variação de x . Reparem que a função y = ( x + 1 ) ² est�� abaixo da x = y - y ³ , porém, precisamos colocar a primeira equação em função de x :

y = ( x + 1 ) ²

x = y - 1

Show, agora vamos ver que:

y - 1 ≤ x ≤ y - y ³

Logo o intervalor de integração vai ser:

A 1 = ∫ 0 1 ∫ y - 1 y - y ³ d x d y

Passo 2

Show, agora vamos para a segunda área

Vamos seguir a mesma ideia para esboçar as integrais da segunda parte (II). Se a gente analisar, vamos ter:

- 1 ≤ y ≤ 0

Show, agora vamos analisar a variação de x . Reparem que temos uma reta x = - 1 abaixo da x = y - y ³ . Vamos ver que:

- 1 ≤ x ≤ y - y ³

Logo o intervalor de integração vai ser:

A 2 = ∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y ³ d x d y

Show, se somarmos, vamos ter:

A T = A 1 + A 2

A T = ∫ 0 1 ∫ y - 1 y - y ³ d x d y + ∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y ³ d x d y

Resposta

A T = ∫ 0 1 ∫ y - 1 y - y ³ d x d y + ∫ - 1 0 ∫ - 1 y - y ³ d x d y

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