Seja

f x = x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2 ,   x ≥ 0 β cos ⁡ x ,   x < 0

b) Encontre a assíntota horizontal de f quando x → ∞ . Existe assíntota vertical em algum ponto?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa função definida por partes

f x = x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2 ,   x ≥ 0 β cos ⁡ x ,   x < 0

E pediu para encontrar a assíntota horizontal e para dizer se existe uma assíntota vertical. Você lembra como encontrar essas assíntotas?

  • Uma assíntota horizontal é encontrada fazendo o limite da função x → ∞ . Se acharmos um número, por exemplo a , então temos uma assíntota de equação y = a
  • Já a assíntota vertical é onde calculamos o limite em torno de um ponto específico x = a . Caso encontrarmos ± ∞ , então temos uma assíntota vertical de equação x = a . (normalmente achamos onde o denominador é zero – pontos de descontinuidade da função)

beleza? A ideia então é aplicar esses conceitos e encontrar o que se pede!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Calculando o limite x → ∞

lim x → ∞ ⁡ x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2

Vamos dividir todos os termos pelo maior expoente

lim x → ∞ ⁡ x 5 x 5 + 4 x 5 ⏝ → 0 x 5 x 5 + x 3 x 5 ⏝ → 0 + x x 5 ⏝ → 0 + 2 x 5 ⏝ → 0 = 1

Beleza?

Encontramos um número como resultado do limite, isso significa que temos uma assíntota horizontal de equação

y = 1

Passo 3

Nossa função é

f x = x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2 ,   x ≥ 0 β cos ⁡ x ,   x < 0

A parte do cosseno é sempre contínua, então ali não temos possibilidade de encontrar assíntota vertical. Já na outra parte sim

x 5 + 4 x 5 + x 3 + x + 2

Encontramos uma assíntota vertical achando onde o denominador é zero

x 5 + x 3 + x + 2 = 0

Mas se você for tentar encontrar onde é esse ponto, vai ter muito trabalho! E nem é pedido! Então, como mostrar que temos uma raiz aí?

Pelo teorema do valor intermediário! Se encontrarmos duas imagens nas quais o 0 está entre esses valores, então sabemos que nesse intervalo de valores testados temos uma raiz. Não sabemos exatamente qual é ela, mas esse teorema garante que ela existe!

Assim em x = - 1

( - 1 ) 5 + ( - 1 ) 3 + - 1 + 2 = - 1

E em x = 1

( 1 ) 5 + ( 1 ) 3 + 1 + 2 = 5

Olhando as imagens

- 1,5

Percebemos que o 0 está nesse intervalo! Então existe um x ' tal que

x ' 5 + x ' 3 + x ' + 2 = 0

x ' está no intervalo entre [ - 1,1 ] porque foram os números que testamos!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

y = 1

t e m o s   a s s í n t o t a   v e r t i a l

Exercícios de Livros Relacionados

Estime a assíntota horizontal da função f x = 3 x 3 + 500 x 2 x 3 + 500 x 2 + 100 x + 2000 através do gráfico de f para - 10 ≤ x ≤ 10 . A seguir, determine a equação da assíntota calculando o limite.
Faça um gráfico de f x = s e n x x Quantas vezes o gráfico cruza a assíntota?
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre as assíntotas verticais da função y = x x 2 - x - 2 Confirme sua resposta da parte a fazendo o gráfico da função.
Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação 5 6 )x 2 y + 4 x y - x 2 + x + 4 y - 6 = 0