Seja y = f ( x ) uma função definida em R \ { 0 } , contínua em todo o seu domínio e satisfazendo as condições abaixo:

f - 5 = 2 ,   f - 4 = 1 ,   f - 3 = 3 ,   f - 3 2 = 4 e lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Suponha que o gráfico de f ' ( x ) é dado pela figura abaixo:

Responda, justificando, o que se pede:

f ) As assíntotas verticais e horizontais, caso existam;

Passo 1

Olá pessoal, como estão?

Nessa questão temos uma função f ( x ) , com a informação de algum dos seus pontos:

f - 5 = 2 f - 4 = 1 f - 3 = 3 f - 3 2 = 4

Também foi dado o gráfico da derivada de f ( x ) , ou seja, f ' x .

Além disso, o enunciado também nos falou que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Nesse item precisamos determinar as assíntotas verticais e horizontais de f .

Para fazer isso, basta analisarmos o gráfico quando x → ± ∞ se f tende a algum valor constante (assíntotas horizontais), e se tem f ' ( x ) tende a infinito antes e depois de um certo valor de fixo de x   (assíntota vertical).

Vem com a gente que vai ficar mais claro!

Passo 2

Bom, vamos começar pensando nas assíntotas horizontais...

Foi dado no enunciado, que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Isso significa que, quando x → ± ∞ , f ( x ) assume um valor constante, que é o valor nulo. Ou seja, à medida que x aumenta em módulo, a curva f ( x ) se aproxima do eixo x .

Portanto, temos uma assíntota horizontal em y = 0 .

Já na assíntota vertical, vamos analisar o gráfico:

Olha junto comigo, à medida que x se aproxima de x = 0 , a nossa função derivada explode pro infinito. Isso significa, na função primitiva f , que quando ela se aproxima de x = 0 , o seu valor aumenta absurdamente, sem que a função nunca realmente alcance a reta x = 0 .

Ou seja, x = 0 é uma assíntota vertical.

E é isso galera! Pegaram a ideia?

Valeu pela atenção!

Resposta

x = 0 → assíntota vertical

y = 0 → assíntota horizontal

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