9) Um bloco inicialmente em repouso começa a deslizar do topo de um plano inclinado sem atrito (vide figura). O ângulo do plano inclinado é θ e sua base tem comprimento d. Se T é o tempo que o bloca gasta para chegar à base do plano inclinado, é correto afirmar que:

a) T 2 = 2 d / ( g sen ⁡ θ cos ⁡ θ )

b) T 2 = 2 d / ( g sen ⁡ θ )

c) T 2 = 2 d / ( g cos ⁡ θ )

d) T 2 = d / ( g sen 2 ⁡ θ )

e) T 2 = d / ( g cos 2 ⁡ θ )

Passo 1

Fala aí, galerinha! Tudo belezinha com vocês?

Bom, pra gente entender bem direitinho o que está acontecendo, vamos fazer o diagrama do corpo livre para o bloco que está descendo o plano inclinado e sem atrito. Perceba que nessas condições, o bloco descerá desenvolvendo um Movimento Uniformemente Variado, e usaremos essa informação para nos ajudar a descobrir a relação do tempo que o problema está querendo.

Então, boa comigo ver isso acontecendo.

Passo 2

Fazendo o diagrama do corpo livre, teremos:

Podemos fazer a decomposição vetorial da força peso em relação ao plano inclinado e teremos:

Aplicando a segunda lei de Newton no eixo x teremos:

P x = m . a

Sendo

P x = P ⋅ sen ⁡ θ

Assim:

m g ⋅ sen ⁡ θ = m . a

E poderemos descrever a aceleração do sistema como sendo:

a = g ⋅ sen ⁡ θ

Agora perceba que esse movimento de deslizamento do bloco sobre o plano inclinado é um Movimento Uniformemente Variado ( M . U . V . ) , uma vez que a aceleração do bloco varia de maneira uniforme ao longo do deslizamento. Sendo assim, poderemos aplicar as equações horárias do movimento, sendo:

Δ S = v 0 T + 1 2 a T 2

Substituindo a que acabamos de encontrar e como o bloco parte do repouso e temos v 0 = 0

E a equação se resume a:

Δ S = 1 2 g ⋅ sen ⁡ θ T 2

Passo 3

Agora perceba que podemos escrever esse Δ S em função da distância d e do ângulo θ analisando a geometria do triângulo retângulo.

Sendo:

d = Δ S ⋅ cos ⁡ θ

Teremos:

Δ S = d cos ⁡ θ

De substituindo na equação horária da posição, ficamos com:

Δ S = 1 2 g ⋅ sen ⁡ θ T 2

d cos ⁡ θ = 1 2 g ⋅ sen ⁡ θ T 2

Agora basta isolar o T 2 e teremos:

T 2 = 2 d / ( g sen ⁡ θ cos ⁡ θ )

E finalmente, nossa resposta é a letra a)!!!

Prontinho!!

Resposta

Resposta: a)

T 2 = 2 d / ( g sen ⁡ θ cos ⁡ θ )

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