Um vagão de massa m 2 = 4   t o n está sobre um plano inclinado de inclinação θ = 45 ° , ligado a uma esfera suspensa, de massa m 1 = 500   k g , pelo sistema de cabos e polias ideais, como ilustrado na figura 2.24 . O coeficiente de atrito cinético entre o vagão e o plano inclinado é μ c = 0,5 e o sistema é solto do repouso.

a) Determinar as relações entre os deslocamentos e as velocidades das massas m 1 e m 2 ;

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo beleza?

Nessa questão temos um sistema de blocos, polias e plano inclinado, igual foi mostrado na figura. Basicamente, o bloco ou a esfera irá começar a descer enquanto o outro elemento irá subir. Como eles estão conectados por fio, deve haver um vínculo geométrico relacionando o movimento da esfera e do vagão.

O enunciado nos pede para determinar a relação entre os deslocamentos de m 1 e m 2 , bem como a relação entre a velocidade deles.

Pra encontrar essa relação é essencial utilizarmos o fato do fio possuir comprimento constante.

Vem com a gente que vamos mostrar todo o procedimento pra encontrar o vínculo geométrico 😊

Passo 2

Vamos começar expressando o comprimento de cada segmento do fio que liga a esfera e o vagão:

Assim, o comprimento total do fio é dado por:

L = L 1 + L 2 + L 3

Agora, vamos imaginar que o vagão desça uma distância x 2 no plano inclinado, e que a esfera suba uma distância x 1 . Como irão ficar os comprimentos de cada um desses segmentos de fio?

Os segmentos 2 e 3 deverão aumentar em um valor x 2 , pois estão conectados ao vagão através da polia móvel.

Já o segmento 1 deverá diminuir de x 1 .

Daí, o comprimento do fio pode ser expresso como:

L = L 1 - x 1 + L 2 + x 2 + ( L 3 + x 2 )

Como o comprimento do fio é constante, essa expressão deve ser igual à situação inicial. Ou seja:

L 1 + L 2 + L 3 =   L 1 - x 1 + L 2 + x 2 + ( L 3 + x 2 )

Logo:

0 = - x 1 + 2 x 2

⇒ x 1 = 2 x 2

Excelente! Já encontramos a relação entre os deslocamentos da esfera e do vagão. Para encontrarmos a relação entre as velocidades, basta derivarmos a expressão acima com relação ao tempo:

d x 1 d t = d 2 x 2 d t

Logo:

v 1 = 2 v 2

Prontinho! Entenderam bem?

Responde Aí!

Resposta

x 1 = 2 x 2

v 1 = 2 v 2

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