Calcule:

c ) lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x x

Passo 1

Olá gente bonita, como vocês estão?

Nessa questão precisamos calcular o seguinte limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x x

O passo inicial nas questões de limites é sempre tentar substituir o valor que x está tendendo e verificar se já conseguimos determinar pra onde o limite está tendendo, ou se caímos em algum absurdo matemático.

Nesse caos, como x → ∞ , não dá pra substituir, mas vamos fazer uma análise.

Quando x → ∞ , o termo:

x 2 + 1 → ∞

Analogamente, o termo:

x → ∞

Daí, quando fazemos o limite, no numerador ficamos com algo do tipo:

∞ - ∞

E, não conseguimos determinar o resultado dessa operação...Puts, vamos precisar pensar um pouco mais então!

Vem com a gente 😊

Passo 2

Para sair dessa indeterminação no numerador, podemos manipular a expressão de modo a fazer sumir essa subtração.

Uma ideia interessante, é usar o produto notável:

a 2 - b 2 = ( a + b ) ( a - b )

Onde:

a = x 2 + 1

b = x

Daí, ficamos com:

x 2 + 1 2 - x 2 = x 2 + 1 + x ⋅ x 2 + 1 - x

Manipulando o lado esquerdo, temos:

x 2 + 1 - x = x 2 + 1 + x ⋅ x 2 + 1 - x

Logo:

x 2 + 1 - x = x 2 - x + 1 x 2 + 1 + x

Show de bola!

Passo 3

Agora que removemos a indeterminação, podemos substituir o resultado no nosso limite:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 1 - x x = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x + 1 x 2 + 1 + x ⋅ 1 x

Como temos um polinômio em x no numerador e no denominador, podemos colocar a maior potência de x em evidência. Ficaremos com:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 ( 1 - 1 x + 1 x 2 ) x 2 1 + 1 x 2 + 1 x

=   lim x → + ∞ ⁡ ( 1 - 1 x + 1 x 2 ) 1 + 1 x 2 + 1 x

Quando x tende a infinito, esses termos com x no denominador irão zerar, e ficamos apenas com os termos independentes de x .

Logo:

lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x + 1 x 2 1 + 1 x 2 + 1 x = 1 - 0 - 0 1 + 0 + 0

Logo:

lim x → + ∞ ⁡ ( 1 - 1 x + 1 x 2 ) 1 + 1 x 2 + 1 x = 1

Prontinhooo!

Sacaram a ideia? Espero que vocês tenham curtido a solução.

Até a próxima 😉

Resposta

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