Considere a seguinte proposição: Se lim n → ∞ ⁡ a n b n = 0 , então b n → ∞

a n = n 2 + 2 n e b n = 3 n 2 + 1 é um contra exemplo para a proposição?

Passo 1

Vamos começar vendo se ele obedece a hipótese, e depois vemos se a tese é falsa, queremos um contra exemplo, ou seja, um cara onde a hipótese seja verdadeira e a tese não.

Para isso vamos calcular

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n 3 n 2 + 1

Temos a divisão entre dois polinômios com n indo para , aqui vamos usar um truque, vamos colocar em evidência o n de maior grau do numerado e depois fazemos a mesma coisa com o denominador, não entendeu nada? Vamos pegar a fração e fazer isso com calma

n 2 + 2 n 3 n 2 + 1

Qual o maior grau de n no numerador? 2 né? Vamos colocar n 2 em evidência no numerador

n 2 + 2 n 3 n 2 + 1 = n 2 1 + 2 n n 2 3 n 2 + 1 = n 2 1 + 2 n 3 n 2 + 1

Agora para o denominador, qual o maior grau dele? 2 né? Vamos colocar n 2 em evidência no denominador

n 2 1 + 2 n 3 n 2 + 1 = n 2 1 + 2 n n 2 3 + 1 n 2

Agora vamos simplificar os valores de n

n 2 1 + 2 n n 2 3 + 1 n 2 = 1 + 2 n 3 + 1 n 2

Beleza, arrumamos a fração, mas porque diabos fizemos isso?

Repara que o limite de um número qualquer divido por n k vai para SEMPRE para 0 , porque? Olha para isso

lim n → ∞ ⁡ a n k = a ∞ = 0

Isso vai zerar muita gente e sobrar pouca coisa, vamos ver como fica o limite

Passo 2

Vamos voltar para o limite, trocando a fração por aquela arrumada que demos

lim n → ∞ ⁡ n 2 + 2 n 3 n 2 + 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 3 + 1 n 2

Usando as propriedades de limites, o limite vai ficar

lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 n 3 + 1 n 2 = 1 + 0 3 + 0 = 1 3

Então chegamos numa conta de boa de fazer, esse limite vai ser 1 3 , sacou a marotagem desse tipo de questão? Isso serve tanto para + ∞ quanto para - ∞ não importa aquela divisão a x n vai para 0 nos dois casos.

Passo 3

Temos uma situação onde a hipótese não é obedecida, então ele não serve como um contraexemplo.

Resposta

Não é um contra exemplo.

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