Calcule o seguinte limite:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x 2 - 1

Passo 1

Substituindo x → + ∞ no limite:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x 2 - 1 = ∞ - ∞

Como era de se esperar, caímos numa indeterminação.

Passo 2

Nessa questão a sacada é lembrar daquela propriedade do logaritmo:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Ou seja:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 - ln ⁡ x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1

A função l n é contínua e sempre crescente, então podemos jogar o limite pra dentro do logaritmo:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1

Passo 3

Então agora sobrou um limite bem mais tranquilo de calcular:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1

Substituindo x → + ∞ , obtemos uma indeterminação ∞ / ∞ .

Dá pra resolver esse limite de duas formas.

Tem a maneira mais tradicional, botando o x ² em evidência no numerador e no denominador:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 1 + 0 1 - 0 = 1

Ou, por l’Hôpital:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x + 0 2 x - 0 = 1

De qualquer forma, obtemos que o limite dá 1. :)

Passo 4

Mas ainda não acabou: esse limite era o que tava dentro do logaritmo. O que a gente queria calcular era

ln ⁡ lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 x 2 - 1

Que vai dar:

ln ⁡ 1 = 0

Agora sim acabou!

Resposta

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