Os limites lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x cos ⁡ x 5 x 4 e lim x → 0 - ⁡ x 4 + x 2 2 x valem, respectivamente:

  1. 2 5 e 1 2
  2. 3 5 e - 1 2
  3. 2 5 e - 1 2
  4. - 1 5 e 0
  5. - 1 5 e 1 2

Passo 1

Esse primeiro limite é um pouco assustador, eu sei. Mas fica tranquilo que a gente vai resolver de boas ele. Todo limite quando a gente bate o olho a primeira coisa a fazer é substituir pra ver o que acontece. Mas como cos ⁡ + ∞ é meio esquisito, uma boa primeira ideia seria separar o limite assim:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x cos ⁡ x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 5 x 4 - 3 x cos ⁡ x 5 x 4

Usando as propriedades dos limites, temos:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x cos ⁡ x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 5 x 4 - lim x → + ∞ ⁡ 3 x 5 x 4 ∙ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

Vamos resolver um de cada vez, beleza? Começando pelo primeiro e já dando as devidas manipuladas, chegamos ao resultado:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 x 2 5 = lim x → + ∞ ⁡ 2 5 = 2 5

Agora fazendo o segundo limite:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 x 5 x 4 = lim x → + ∞ ⁡ 3 1 5 x 3 = 3 1 + ∞ = 3 0 = 0

E na verdade nem precisamos fazer o terceiro limite! O resultado final vai ser:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x cos ⁡ x 5 x 4 = 2 5 - 0 ∙ lim x → + ∞ ⁡ cos ⁡ x

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x cos ⁡ x 5 x 4 = 2 5

Passo 2

Antes de mais nada, vamos substituir esse limite e ver o que acontece:

lim x → 0 - ⁡ x 4 + x 2 2 x = 0 0

Já que deu uma indeterminação, agora, pra esse limite, bora adotar a seguinte estratégia: Por em evidência em cima o x 2 . Olha só porque isso é uma boa ideia

lim x → 0 - ⁡ x 4 + x 2 2 x = lim x → 0 - ⁡ x 2 x 2 + 1 2 x = lim x → 0 - ⁡ x x 2 + 1 2 x

Pela definição de módulo:

x 2 = x = x ,     s e   x ≥ 0 - x ,     s e   x < 0

Como estamos tendendo a 0 por valores menores que ele, vamos ter:

lim x → 0 - ⁡ x 4 + x 2 2 x = lim x → 0 - ⁡ x x 2 + 1 2 x = lim x → 0 - ⁡ - x x 2 + 1 2 x

lim x → 0 - ⁡ x 4 + x 2 2 x = lim x → 0 - ⁡ - x 2 + 1 2 = - 0 + 1 2 = - 1 2

A letra com a resposta correta é a C

Resposta

L e t r a   C

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