Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1

Passo 1

A primeira coisa é substituir o valor do x , mas como nesse caso o “valor” não é um número, e sim o infinito, basta avaliarmos os limites separados de cada função.

Temos que :

lim x → ∞ ⁡ x 4 + 1 = ∞

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 = ∞

Portanto, temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ .

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1 ⟹ ∞ ∞

Portanto devemos manipular algebricamente a função para que consigamos chegar em algo que não seja uma indeterminação.

Passo 2

Como, neste caso, o x está tendendo ao infinito, podemos nos utilizar de uma técnica que consiste de colocar a maior potência de x em evidência, tanto no denominador quanto no numerador:

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 2 ( 2 - 3 / x - 4 / x 2 ) x 4 ( 1 + 1 / x 4 )

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 2 ( 2 - 3 / x - 4 / x 2 ) x 2 1 + 1 / x 4

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1 = lim x → ∞ ⁡ x 2 x 2 ( 2 - 3 / x - 4 / x 2 ) 1 + 1 / x 4

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1 = lim x → ∞ ⁡ ( 2 - 3 / x - 4 / x 2 ) 1 + 1 / x 4

A vantagem que isso proporciona é que ele gera várias divisões por potências de x , que vão acabar dando todas zero, por conta do x estar crescendo para o infinito e além.

Passo 3

Utilizando de propriedades de limites:

lim x → ∞ ⁡ ( 2 - 3 / x - 4 / x 2 ) 1 + 1 / x 4 = 2 - lim x → ∞ ⁡ 3 x - lim x → ∞ ⁡ 4 x 2   1 + lim x → ∞ ⁡ 1 / x 4

2 - lim x → ∞ ⁡ 3 x - lim x → ∞ ⁡ 4 x 2   1 + lim x → ∞ ⁡ 1 / x 4 = ( 2 - 0 - 0 ) 1 + 0 = 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 2 x 2 - 3 x - 4 x 4 + 1 = 2

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